Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1. Казанцев Э.Ф. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A B A B
A B A B
× = +
+ = ×
ü
ý
ï
þ
ï
$
$
— тео ре мы де Мор га на.
Не вы пол ня ют ся свой ст ва идем по тент но сти и ди ст ри бу тив но сти:
A A A
A A A
× ¹
+ ¹
ü
ý
þ
$
,
A B С A B A C
A B C A B A C
× + ¹ × + ×
+ × ¹ + × +
ü
ý
þ
(
$
) ( )
$
( )
$
( ) (
$
) (
$
)
,
а так же A · В
¹
Æ,
A A U
$
+ ¹
.
Для при ме ра до ка жем за кон де Мор га на
A B A B× = +
$
. Обо зна чим
m
A
(x) че рез a, m
B
(x) че рез b. То гда в ле вой час ти за ко на де Мор га на име ем:
1– ab, а в пра вой:
( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1- + - - - - = - + - + + - = -a b a b a b a b ab ab
.
Та ким об ра зом, ле вая и пра вая час ти сов па да ют.
До ка жем, что свой ст во ди ст ри бу тив но сти не вы пол ня ет ся, то есть
A B C A B A C× + ¹ × + ×(
$
) ( )
$
( )
.
Для ле вой час ти име ем:
a b c bc ab ac abc( )+ - = + -
; для пра вой:
ab ac ab ac ab ac a bc+ - = + +( )( )
2
. Это оз на ча ет, что ди ст ри бу тив ность не
вы пол ня ет ся при a ¹ a
2
.
г) На ос но ве опе ра ции ал геб раи че ско го про из ве де ния (по край -
ней ме ре для це лых a эта ос но ва оче вид на) оп ре де ля ет ся опе ра ция воз -
ве де ния в сте пень a не чет ко го мно же ст ва A, где a — по ло жи тель ное чис -
ло. Не чет кое мно же ст во
A
a
оп ре де ля ет ся функ ци ей при над леж но сти
m
a
A
. Ча ст ным слу ча ем воз ве де ния в сте пень яв ля ют ся:
CON(A) = A
2
— опе ра ция кон цен три ро ва ния,
DIL(A) = A
0,5
— опе ра ция рас тя же ния,
ко то рые ис поль зу ют ся при ра бо те с лин гвис ти че ски ми не оп ре де лен но -
стя ми.
39
      A × B = A +$ B üï
                      ý — теоремы де Моргана.
      A +$ B = A × B ïþ
      Не выполняются свойства идемпотентности и дистрибутивности:

      A× A ¹ A ü
                 ý,
      A +$ A ¹ A þ

      A × (B +$ С ) ¹ ( A × B) +$ ( A × C ) ü
                                            ý,
      A +$ (B × C ) ¹ ( A +$ B) × ( A +$ C )þ

      а также A · В ¹ Æ, A +$ A ¹ U .

       Для примера докажем закон де Моргана A × B = A +$ B . Обозначим
mA(x) через a, mB(x) через b. Тогда в левой части закона де Моргана имеем:
1– ab, а в правой:

           (1 - a) + (1 - b) - (1 - a)(1 - b) = 1 - a +1 - b + a + b - ab = 1 - ab.

         Таким образом, левая и правая части совпадают.
         Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, то есть
A × (B +$ C ) ¹ ( A × B) +$ ( A × C ).
         Для левой части имеем: a(b + c - bc) = ab + ac - abc; для правой:
ab + ac - (ab)(ac) = ab + ac + a 2 bc. Это означает, что дистрибутивность не
выполняется при a ¹ a2.

         г) На основе операции алгебраического произведения (по край-
ней мере для целых a эта основа очевидна) определяется операция воз-
ведения в степень a нечеткого множества A, где a — положительное чис-
ло. Нечеткое множество A a определяется функцией принадлежности
m aA . Частным случаем возведения в степень являются:

      CON(A) = A2 — операция концентрирования,

      DIL(A) = A0,5 — операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенно-
стями.
                                                                                      39

Страницы