Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ:

МУМ | Москва

Составители:

Казанцев Э.Ф.

Рубрика:

Дискретная математика

1 2 3

;

1 2 3

2 3 1

;

1 2 3

3 1 2

1 2 3

1 3 2

;

1 2 3

3 2 1

;

1 2 3

2 1 3

Это со от вет ст вие есть би ек ция.

б) муль ти п ли ка тив ная груп па по ло жи тель ных чи сел изо морф на

ад ди тив ной груп пе всех дей ст ви тель ных чи сел. Изо мор физм ус та нав ли -

ва ет би ек ция f(a) = ln a, что сле ду ет из ра вен ст ва ln(ab) = ln a + ln b.

2) Вся кий изо мор физм груп пы G в груп пу H на зы ва ет ся пред став -

ле ни ем груп пы G в груп пу H.

Вся кий изо мор физм груп пы G на се бя на зы ва ет ся ав то мор физ мом

груп пы G (Aut G). Груп па G на зы ва ет ся го мо морф ной груп пе H, ес ли ка ж -

до му эле мен ту g Î G мож но по ста вить в со от вет ст вие не ко то рый эле -

мент h Î H , но не наоборот.

3) Свой ст ва изо мор физ ма:

а) еди нич ный эле мент пе ре хо дит в еди нич ный;

б) об рат ный эле мент пе ре хо дит в об рат ный;

в) об рат ное ото бра же ние так же яв ля ет ся изо мор физ мом;

г) все цик ли че ские груп пы од но го по ряд ка изо морф ны;

д) вся кая ко неч ная груп па (a

) изо морф на не ко то рой под груп пе

сим мет ри че ской груп пы (S

) (тео ре ма Кэ ли).

4) Пусть H — под груп па груп пы G.

Ле вым смеж ным клас сом G по H на зы ва ет ся мно же ст во gH всех

эле мен тов ви да gh, где g — фик си ро ван ный эле мент из G, а h про бе га ет

все эле мен ты под груп пы H, то есть gH = {gh| h Î H}: gh

; gh

; … .

Пра вый смеж ный класс оп ре де ля ет ся ана ло гич но: Hg = {hg| h Î H}.

5) Под груп па H на зы ва ет ся нор маль ным де ли те лем груп пы G, ес ли

мно же ст во ле вых смеж ных клас сов G по H сов па да ет с мно же ст вом пра -

вых смеж ных клас сов, то есть gH = Hg. Ес ли H — нор маль ный де ли тель,

то мно же ст во смеж ных клас сов G по H яв ля ет ся груп пой, ко то рая на зы -

ва ет ся фак тор-груп пой.

                   æ1   2 3ö          æ1    2 3ö           æ1   2 3ö
            f 0 = çç       ÷÷; f 1 = çç        ÷÷; f 2 = çç          ÷
                   è1   2 3ø          è2    3 1ø           è3   1 2 ÷ø
                  æ1    2 3ö           æ1   2 3ö           æ1   2 3ö
            j1 = çç         ÷÷; j 2 = çç        ÷÷; j 3 = çç         ÷
                  è1    3 2ø           è3   2 1ø           è2   1 3 ÷ø

      Это соответствие есть биекция.
      б) мультипликативная группа положительных чисел изоморфна
аддитивной группе всех действительных чисел. Изоморфизм устанавли-
вает биекция f(a) = ln a, что следует из равенства ln(ab) = ln a + ln b.

      2) Всякий изоморфизм группы G в группу H называется представ-
лением группы G в группу H.
      Всякий изоморфизм группы G на себя называется автоморфизмом
группы G (Aut G). Группа G называется гомоморфной группе H, если каж-
дому элементу g Î G можно поставить в соответствие некоторый эле-
мент h Î H, но не наоборот.

     3) Свойства изоморфизма:
     а) единичный элемент переходит в единичный;
     б) обратный элемент переходит в обратный;
     в) обратное отображение также является изоморфизмом;
     г) все циклические группы одного порядка изоморфны;
     д) всякая конечная группа (an) изоморфна некоторой подгруппе
симметрической группы (Sn) (теорема Кэли).

      4) Пусть H — подгруппа группы G.
      Левым смежным классом G по H называется множество gH всех
элементов вида gh, где g — фиксированный элемент из G, а h пробегает
все элементы подгруппы H, то есть gH = {gh| h Î H}: gh0; gh1; gh2; … .
      Правый смежный класс определяется аналогично: Hg = {hg| h Î H}.

      5) Подгруппа H называется нормальным делителем группы G, если
множество левых смежных классов G по H совпадает с множеством пра-
вых смежных классов, то есть gH = Hg. Если H — нормальный делитель,
то множество смежных классов G по H является группой, которая назы-
вается фактор-группой.
10

Заказать работу

Вы здесь

Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ:

Казанцев Э.Ф.

Дискретная математика

Страницы