Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ:

МУМ | Москва

Составители:

Казанцев Э.Ф.

Рубрика:

Дискретная математика

5) Раз ность ме ж ду чис лом всех эле мен тов под ста нов ки n и ко ли -

че ст вом ее цик лов m (с уче том цик лов дли ны 1) на зы ва ет ся дек ре мен том

под ста нов ки

d n m= -

. Чет ность под ста нов ки сов па да ет с чет но стью

дек ре мен та.

Сим мет ри че ская груп па сте пе ни n обо зна ча ет ся S

, со дер жит n!

эле мен тов и на зы ва ет ся груп пой пе ре ста но вок.

При мер: Груп па S

со сто ит из 6 эле мен тов:

a e

1 2 3

= =

;

1 2 3

2 3 1

;

1 2 3

3 1 2

;

1 2 3

1 3 2

;

1 2 3

2 1 3

;

1 2 3

3 2 1

1.3.3 Изо мор физм групп

1) Груп пы G и H на зы ва ют ся изо морф ны ми, ес ли су ще ст ву ет би ек -

ция f : G ® H, со хра няю щая груп по вую опе ра цию, то есть f(g

) =

= f(g

)×f(g

) для лю бых g

, g

Î G.

При мер: а) груп па са мо со вме ще ний пра виль но го тре уголь ни ка R

изо морф на груп пе S

. Дей ст ви тель но, груп па са мо со вме ще ний со сто ит

из трех вра ще ний f

, f

на уг лы 0, 2p/3, 4p/3 и трех сим мет рий j

от но си тель но осей сим мет рии S

, S

. Ес ли про ну ме ро вать мно же ст во

вер шин (ри су нок 1.3.2), то ка ж до му из этих пре об ра зо ва ний бу дет со от -

вет ст во вать под ста нов ка на мно же ст ве {1, 2, 3}:

Рис. 1.3.2

      5) Разность между числом всех элементов подстановки n и коли-
чеством ее циклов m (с учетом циклов длины 1) называется декрементом
подстановки d = n - m. Четность подстановки совпадает с четностью
декремента.
      Симметрическая группа степени n обозначается Sn, содержит n!
элементов и называется группой перестановок.

      Пример: Группа S3 состоит из 6 элементов:

                     æ1 2 3 ö          æ1 2 3ö           æ1 2 3 ö
           a1 = e = çç       ÷÷; a2 = çç       ÷÷; a3 = çç         ÷÷;
                     è1 2 3 ø          è2 3 1ø           è3 1 2 ø
                   æ1 2 3 ö         æ1 2 3ö           æ1 2 3ö
             a4 = çç      ÷÷; a5 = çç       ÷÷; a6 = çç       ÷÷ .
                   è1 3 2 ø         è2 1 3ø           è3 2 1ø

      1.3.3 Изоморфизм групп

      1) Группы G и H называются изоморфными, если существует биек-
ция f : G ® H, сохраняющая групповую операцию, то есть f(g1g2) =
= f(g1)×f(g2) для любых g1, g2 Î G.

      Пример: а) группа самосовмещений правильного треугольника R3
изоморфна группе S3. Действительно, группа самосовмещений состоит
из трех вращений f0, f1, f2 на углы 0, 2p/3, 4p/3 и трех симметрий j1,j2,j3
относительно осей симметрии S1, S2, S3. Если пронумеровать множество
вершин (рисунок 1.3.2), то каждому из этих преобразований будет соот-
ветствовать подстановка на множестве {1, 2, 3}:




                                    Рис. 1.3.2



                                                                         9

Заказать работу

Вы здесь

Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ:

Казанцев Э.Ф.

Дискретная математика

Страницы