Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ:

МУМ | Москва

Составители:

Казанцев Э.Ф.

Рубрика:

Дискретная математика

Под ста нов ку

a =

1 2 3 4

2 4 3 1

мож но рас смат ри вать как мно же ст -

во упо ря до чен ных пар {<1,2>, <2,4>, <3,3>, <4,1>}, где 1 пе ре хо дит в 2,

2 — в 4, 3 — в 3, 4 — в 1.

Упо ря до чен ные па ры мо гут сле до вать в лю бом по ряд ке:

1 2 3 4

2 4 3 1

4 2 3 1

1 4 3 2

2 1 4 3

4 2 1 3

и так да лее.

Так как чис ло пе ре ста но вок из n чи сел рав но n!, то чис ло всех под -

ста но вок n-ой сте пе ни рав но n!.

То ж де ст вен ная под ста нов ка e

пе ре во дит ка ж дое чис ло в се бя:

1 2 3

Ес ли в под ста нов ке a по ме ня ем мес та ми все ее пе ре ста нов ки, то

по лу чим под ста нов ку a

-1

, сим мет рич ную a:

a =

1 2 3 4

2 4 3 1

;

2 4 3 1

1 2 3 4

2) Ком по зи ци ей под ста но вок a и b на зы ва ет ся под ста нов ка c = ab,

яв ляю щая ся ре зуль та том по сле до ва тель но го вы пол не ния сна ча ла a, за -

тем b:

c ab= =

1 2 3 4

2 4 3 1

1 2 3 4

1 4 3 2

1 2 3 4

4 2 3 1

Оче вид но, что а) ae

= e

a = a;

б) aa

-1

= a

-1

a = e.

При мер:

a =

1 2 3 4

4 3 2 1

;

b =

1 2 3 4

2 3 4 1

; то гда

ba =

1 2 3 4

3 2 1 4

, в то

же вре мя

ab =

1 2 3 4

1 4 3 2

, то есть ab ¹ ba.

                         æ1 2 3 4ö
      Подстановку a = çç          ÷÷ можно рассматривать как множест-
                         è2 4 3 1 ø
во упорядоченных пар {<1,2>, <2,4>, <3,3>, <4,1>}, где 1 переходит в 2,
2 — в 4, 3 — в 3, 4 — в 1.
      Упорядоченные пары могут следовать в любом порядке:
              æ1 2 3 4ö æ 4 2 3 1 ö æ2 1 4 3ö
              çç        ÷÷ = çç    ÷÷ = çç    ÷÷
               è2 4 3 1 ø è1 4 3 2 ø è 4 2 1 3ø
и так далее.
      Так как число перестановок из n чисел равно n!, то число всех под-
становок n-ой степени равно n!.
      Тождественная подстановка en переводит каждое число в себя:
                                  æ1 2 3 K n ö
                           e n = çç          ÷÷ .
                                  è1 2 3 K n ø
     Если в подстановке a поменяем местами все ее перестановки, то
получим подстановку a-1, симметричную a:
                      æ1 2 3 4ö             æ2 4 3 1 ö
                 a = çç        ÷÷ ; a -1 = çç        ÷÷ .
                      è2 4 3 1 ø            è1 2 3 4ø

       2) Композицией подстановок a и b называется подстановка c = ab,
являющаяся результатом последовательного выполнения сначала a, за-
тем b:
                     æ 1 2 3 4 ö æ1 2 3 4 ö æ 1 2 3 4 ö
           c = ab = çç         ÷÷ × çç    ÷÷ = çç     ÷÷ .
                     è 2 4 3 1 ø è1 4 3 2 ø è 4 2 3 1 ø
      Очевидно, что а) aen = ena = a;
                         -1    -1
                    б) aa = a a = e.

      Пример:

          æ1 2 3      4ö         æ1 2 3 4ö                     æ1 2 3 4ö
     a = çç            ÷÷ ; b = çç            ÷÷ ; тогда ba = çç       ÷÷ , в то
          è4 3 2      1ø         è2 3 4 1 ø                    è3 2 1 4ø
               æ1 2    3 4ö
же время ab = çç             ÷ , то есть ab ¹ ba.
               è1 4    3 2 ÷ø

                                                                              7

Заказать работу

Вы здесь

Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ:

Казанцев Э.Ф.

Дискретная математика

Страницы