Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При ме ры:
а) мно же ст во це лых чи сел не об ра зу ет груп пу от но си тель но ум но -
же ния, так как мо жет не су ще ст во вать об рат но го эле мен та (из-за ну ля);
б) мно же ст во дей ст ви тель ных (или ра цио наль ных) чи сел без ну ля
G \ {0} — абе ле ва груп па от но си тель но умножения;
в) мно же ст во це лых чи сел об ра зу ет груп пу от но си тель но опе ра -
ции сло же ния ( z, +, 0 );
г) мно же ст во S(x) всех би ек тив ных ото бра же ний x в се бя об ра зу ет
груп пу от но си тель но опе ра ции композиции;
д) мно же ст во пре об ра зо ва ний, пе ре во дя щих пра виль ный тре -
уголь ник в се бя, об ра зу ют не ком му та тив ную груп пу, на зы вае мую груп -
пой са мо со вме ще ния тре уголь ни ка (груп па сим мет рии) R
3
:
Эле мен ты груп пы сим мет рии тре уголь ни ка: а) f
0
, f
1
, f
2
— вра ще -
ния про тив ча со вой стрел ки на уг лы 0; 2p/3; 4p/3 — пе ре во дя щие тре -
уголь ник в се бя; б) j
1
, j
2
, j
3
— сим мет рии от но си тель но осей S
1
; S
2
; S
3
.
Не труд но ви деть, что:
f f
1
3
0
= =e
;
j
1
2
= e
;
( )f j
1 1
2
= e
;
f j
2
1
2
=
;
j j f
2
1 1
=
;
j j f
3
1 1
2
=
.
4) Пусть G — груп па, H и F ее под груп пы. То гда пе ре се че ние
D = H Ç F не пус тое, так как со дер жит как ми ни мум еди нич ный эле -
мент. D так же яв ля ет ся под груп пой груп пы G.
Оп ре де ле ние 1. Пе ре се че ние лю бо го мно же ст ва под групп груп пы
G са мо яв ля ет ся под груп пой груп пы G.
Пусть S — про из воль ное не пус тое под мно же ст во груп пы G. Рас -
смот рим все воз мож ные под груп пы G, ко то рые со дер жат S в ка че ст ве
подмножества.
5
Рис. 1.3.1
       Примеры:
       а) множество целых чисел не образует группу относительно умно-
жения, так как может не существовать обратного элемента (из-за нуля);
       б) множество действительных (или рациональных) чисел без нуля
G \ {0} — абелева группа относительно умножения;
       в) множество целых чисел образует группу относительно опера-
ции сложения ( z, +, 0 );
       г) множество S(x) всех биективных отображений x в себя образует
группу относительно операции композиции;
       д) множество преобразований, переводящих правильный тре-
угольник в себя, образуют некоммутативную группу, называемую груп-
пой самосовмещения треугольника (группа симметрии) R3:
       Элементы группы симметрии треугольника: а) f0, f1, f2 — враще-
ния против часовой стрелки на углы 0; 2p/3; 4p/3 — переводящие тре-
угольник в себя; б) j1, j2, j3 — симметрии относительно осей S1; S2; S3.
Не трудно видеть, что: f 13 = e = f 0 ; j12 = e; (f 1 j1 ) 2 = e; f 2 = j12 ; j 2 = j1 f 1 ;
j 3 = j1 f 12 .




                                         Рис. 1.3.1



      4) Пусть G — группа, H и F ее подгруппы. Тогда пересечение
D = H Ç F непустое, так как содержит как минимум единичный эле-
мент. D также является подгруппой группы G.

     Определение 1. Пересечение любого множества подгрупп группы
G само является подгруппой группы G.
     Пусть S — произвольное непустое подмножество группы G. Рас-
смотрим всевозможные подгруппы G, которые содержат S в качестве
подмножества.
                                                                                          5

Страницы