Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1.3. ТЕОРИЯ ГРУПП
1.3.1 Ос нов ные по ня тия
1) Мно же ст во G на зы ва ет ся мо но идом, ес ли в нем оп ре де ле на би -
нар ная ас со циа тив ная опе ра ция, на зы вае мая ум но же ни ем (абстрактное
умножение).
2) Мо но ид G на зы ва ет ся по лу груп пой, ес ли в нем су ще ст ву ет еди -
нич ный эле мент. Еди нич ный эле мент бу дем обо зна чать бу к вой e. На -
пом ним оп ре де ле ние еди нич но го эле мен та: ae = ea = a (a Î G). Еди нич -
ный эле мент един ст ве нен.
При мер: мно же ст во це лых чи сел — по лу груп па от но си тель но ум -
но же ния (Z, •, 1). Это по лу груп па и от но си тель но сло же ния: (Z, +, 0) ,
та кие груп пы на зы ва ют ся ад ди тив ны ми;
Здесь вез де опе ра ция — муль ти п ли ка тив ная.
Эле мент a на зы ва ет ся об ра ти мым, ес ли су ще ст ву ет та кой эле мент
b, что ab = ba = e. Эле мент b на зы ва ет ся об рат ным a и обо зна ча ет ся
a
-1
.
Не труд но ви деть, что (a
-1
)
-1
= a, кро ме то го: (ab)
-1
=b
-1
a
-1
.
3) Не пус тое мно же ст во G с од ной би нар ной ал геб раи че ской опе -
ра ци ей на зы ва ет ся груп пой, ес ли вы пол ня ют ся сле дую щие ус ло вия:
а) ab яв ля ет ся эле мен том груп пы G ( ус ло вие замк ну то сти ): ab Î G;
б) опе ра ция в G ас со циа тив на: (ab)c=a(bc);
в) в G су ще ст ву ет еди нич ный эле мент e для всех a Î G;
г) для ка ж до го эле мен та a су ще ст ву ет об рат ный ему эле мент a
-1
,
т.е. по лу груп па G, все чле ны ко то рой об ра ти мы, на зы ва ет ся группой.
Груп па G на зы ва ет ся ко неч ной, ес ли чис ло ее эле мен тов конечно.
При этом чис ло эле мен тов на зы ва ет ся по ряд ком груп пы и обо зна -
ча ет ся |G |.
Ес ли опе ра ция в G ком му та тив на, то груп па на зы ва ет ся ком му та -
тив ной или абе ле вой.
Под мно же ст во H Ì G на зы ва ет ся под груп пой в G, ес ли ему при -
над ле жит еди нич ный эле мент e, для лю бых эле мен тов h
1
; h
2
Î H вы пол -
ня ет ся h
1
h
2
Î H и для лю бо го h H су ще ст ву ет h
-1
Î H. По ря док под груп -
пы ко неч ной груп пы яв ля ет ся де ли те лем по ряд ка груп пы (тео ре ма Ла -
гран жа).
Под груп па H Ì G на зы ва ет ся соб ст вен ной, ес ли H ¹ e и H ¹ G.
4
      1.3. ТЕОРИЯ ГРУПП

      1.3.1 Основные понятия

     1) Множество G называется моноидом, если в нем определена би-
нарная ассоциативная операция, называемая умножением (абстрактное
умножение).

       2) Моноид G называется полугруппой, если в нем существует еди-
ничный элемент. Единичный элемент будем обозначать буквой e. На-
помним определение единичного элемента: ae = ea = a (a Î G). Единич-
ный элемент единственен.
       Пример: множество целых чисел — полугруппа относительно ум-
ножения (Z, •, 1). Это полугруппа и относительно сложения: (Z, +, 0) ,
такие группы называются аддитивными;
       Здесь везде операция — мультипликативная.
       Элемент a называется обратимым, если существует такой элемент
b, что ab = ba = e. Элемент b называется обратным a и обозначается a -1 .
Нетрудно видеть, что (a-1)-1 = a, кроме того: (ab)-1=b-1a-1.

       3) Непустое множество G с одной бинарной алгебраической опе-
рацией называется группой, если выполняются следующие условия:
       а) ab является элементом группы G ( условие замкнутости ): ab Î G;
       б) операция в G ассоциативна: (ab)c=a(bc);
       в) в G существует единичный элемент e для всех a Î G;
       г) для каждого элемента a существует обратный ему элемент a-1,
т.е. полугруппа G, все члены которой обратимы, называется группой.
       Группа G называется конечной, если число ее элементов конечно.
       При этом число элементов называется порядком группы и обозна-
чается |G |.
       Если операция в G коммутативна, то группа называется коммута-
тивной или абелевой.
       Подмножество H Ì G называется подгруппой в G, если ему при-
надлежит единичный элемент e, для любых элементов h1; h2 Î H выпол-
няется h1h2 Î H и для любого h H существует h-1 Î H. Порядок подгруп-
пы конечной группы является делителем порядка группы (теорема Ла-
гранжа).
       Подгруппа H Ì G называется собственной, если H ¹ e и H ¹ G.
4

Страницы