Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Од ной из них бу дет, в ча ст но сти, са ма груп па G. В си лу оп ре де ле -
ния 1, пе ре се че ние всех та ких под групп бу дет под груп пой G и на зы ва ет -
ся под груп пой, по ро ж ден ной мно же ст вом S и обо зна ча ет ся <S>.
5) Ес ли мно же ст во S со сто ит из од но го эле мен та a, то по ро ж ден -
ная им под груп па <a> на зы ва ет ся цик ли че ской под груп пой, по ро ж ден -
ной эле мен том a.
Оп ре де ле ние 2. Цик ли че ская под груп па <a>, по ро ж ден ная эле -
мен том a, со сто ит из всех сте пе ней эле мен та a.
Ины ми словами все сте пе ни эле мен та a при над ле жат под груп пе
<a>: a
0
= e, a, a
2
, a
3
, a
4
… .
Груп па, сов па даю щая с од ной из сво их цик ли че ских под групп, на -
зы ва ет ся цик ли че ской. Вся кая цик ли че ская груп па — ком му та тив на.
Рас смот рим груп пу са мо со вме ще ний тре уголь ни ка. Ее под груп -
па со стоя щая из вра ще ний от но си тель но цен тра О, т.е. эле мен ты f
0
=0;
f
1
=2p/3; f
3
=4p/3. Это цик ли че ская под груп па, по ро ж ден ная эле мен -
том f
1
.
Оп ре де ле ние 3. Вся кая под груп па цик ли че ской груп пы са ма цик -
ли че ская.
Ес ли все сте пе ни эле мен та a раз лич ны, то го во рят, что эле мент a
име ет бес ко неч ный по ря док. Ес ли a
q
=e, то гда го во рят, что a — эле мент ко -
неч но го по ряд ка q.
1.3.2 Груп па пе ре ста но вок
1) Пусть X — ко неч ное мно же ст во из n эле мен тов. Груп па всех
би ек ций мно же ст ва X в се бя на зы ва ет ся сим мет ри че ской груп пой сте -
пе ни n.
Ес ли X = {1, 2, 3, …, n}, то ка ж дая би ек ция f : X®X на зы ва ет ся
под ста нов кой и за пи сы ва ет ся:
1 2
1
2
K
K
n
i i i
n
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
,
где i
k
— об раз эле мен та f(k).
Под ста нов ка — это вза им но-од но знач ное ото бра же ние мно же ст -
ва на себя.
6
      Одной из них будет, в частности, сама группа G. В силу определе-
ния 1, пересечение всех таких подгрупп будет подгруппой G и называет-
ся подгруппой, порожденной множеством S и обозначается .

     5) Если множество S состоит из одного элемента a, то порожден-
ная им подгруппа  называется циклической подгруппой, порожден-
ной элементом a.

      Определение 2. Циклическая подгруппа , порожденная эле-
ментом a, состоит из всех степеней элемента a.
      Иными словами все степени элемента a принадлежат подгруппе
: a0 = e, a, a2, a3, a4 … .
      Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, на-
зывается циклической. Всякая циклическая группа — коммутативна.
      Рассмотрим группу самосовмещений треугольника. Ее подгруп-
па состоящая из вращений относительно центра О, т.е. элементы f0=0;
f1=2p/3; f3=4p/3. Это циклическая подгруппа, порожденная элемен-
том f1.

      Определение 3. Всякая подгруппа циклической группы сама цик-
лическая.
      Если все степени элемента a различны, то говорят, что элемент a
имеет бесконечный порядок. Если aq=e, тогда говорят, что a — элемент ко-
нечного порядка q.

      1.3.2 Группа перестановок

     1) Пусть X — конечное множество из n элементов. Группа всех
биекций множества X в себя называется симметрической группой сте-
пени n.
     Если X = {1, 2, 3, …, n}, то каждая биекция f : X®X называется
подстановкой и записывается:
                           æ1 2 K nö
                           çi i K i ÷,
                           ç         ÷
                           è1 2    n ø


где ik — образ элемента f(k).
       Подстановка — это взаимно-однозначное отображение множест-
ва на себя.
6

Страницы