Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1.3.4 Пред став ле ния групп
Тео рия пред став ле ний групп изу ча ет го мо морф ные ото бра же ния
про из воль ной груп пы на все воз мож ные груп пы мат риц (или опе ра то -
ров). Здесь мы ог ра ни чим ся рас смот ре ни ем лишь уни тар ных мат риц
(то есть ко гда об рат ная мат ри ца сов па да ет с со пря жен ной: T
+
=T
–1
).
1) Бу дем го во рить, что за да но пред став ле ние T груп пы G, ес ли ка -
ж до му эле мен ту g Î G от ве ча ет мат ри ца T(g), при этом про из ве де нию
эле мен тов груп пы от ве ча ет про из ве де ние мат риц.
2) Два пред став ле ния груп пы G на зы ва ют ся эк ви ва лент ны ми, ес ли
они свя за ны со от но ше ни ем: T
1
= A T
2
A
–1
, где A — любая матрица.
Все пред став ле ния эк ви ва лент ные дан но му, эк ви ва лент ны ме ж ду
со бой. По это му все пред став ле ния груп пы G рас па да ют ся на клас сы вза -
им но-эк ви ва лент ных пред став ле ний.
Тео ре ма 1: Ка ж дый класс эк ви ва лент ных пред став ле ний ко неч -
ной груп пы со дер жит уни тар ные пред став ле ния (то есть пред став ле ние
у ко то ро го все мат ри цы уни тар ны).
3) Сум ма диа го наль ных эле мен тов мат ри цы (ее след), пред став -
ляю щей эле мент груп пы G, на зы ва ет ся ее ха рак те ром и обо зна ча ет ся
c(G). Ха рак те ры мат риц эк ви ва лент ных пред став ле ний сов па да ют. Та -
ким об ра зом, за да ние ха рак те ра пред став ле ния по зво ля ет сра зу от ли -
чать эк ви ва лент ные пред став ле ния от не эк ви ва лент ных.
4) Так как еди нич но му эле мен ту груп пы со от вет ст ву ет то ж де ст -
вен ное пре об ра зо ва ние, то пред став ляю щая его мат ри ца диа го наль на,
при чем диа го наль ные эле мен ты рав ны еди ни це. По это му ха рак тер еди -
нич но го пред став ле ния ра вен раз мер но сти пред став ле ния: c(e) = n.
Ес ли пред став ле ние раз мер но сти n мож но раз бить на ряд пред -
став ле ний мень шей раз мер но сти f
1
; f
2
; f
3
… ( f
1
+ f
2
+ ... = f ), то го во рят,
что дан ное пред став ле ние при во ди мо. Ес ли же раз мер ность пред став ле -
ния не мо жет быть умень ше на ни ка ким об ра зом, то оно на зы ва ет ся не -
при во ди мым.
Вся кое при во ди мое пред став ле ние мо жет быть раз ло же но на не -
при во ди мые пред став ле ния.
Чис ло не при во ди мых пред став ле ний груп пы рав но чис лу клас сов
в группе.
11
      1.3.4 Представления групп

      Теория представлений групп изучает гомоморфные отображения
произвольной группы на всевозможные группы матриц (или операто-
ров). Здесь мы ограничимся рассмотрением лишь унитарных матриц
(то есть когда обратная матрица совпадает с сопряженной: T +=T –1).

      1) Будем говорить, что задано представление T группы G, если ка-
ждому элементу g Î G отвечает матрица T(g), при этом произведению
элементов группы отвечает произведение матриц.
      2) Два представления группы G называются эквивалентными, если
они связаны соотношением: T1 = A T2 A–1, где A — любая матрица.
      Все представления эквивалентные данному, эквивалентны между
собой. Поэтому все представления группы G распадаются на классы вза-
имно-эквивалентных представлений.

      Теорема 1: Каждый класс эквивалентных представлений конеч-
ной группы содержит унитарные представления (то есть представление
у которого все матрицы унитарны).

      3) Сумма диагональных элементов матрицы (ее след), представ-
ляющей элемент группы G, называется ее характером и обозначается
c(G). Характеры матриц эквивалентных представлений совпадают. Та-
ким образом, задание характера представления позволяет сразу отли-
чать эквивалентные представления от неэквивалентных.

      4) Так как единичному элементу группы соответствует тождест-
венное преобразование, то представляющая его матрица диагональна,
причем диагональные элементы равны единице. Поэтому характер еди-
ничного представления равен размерности представления: c(e) = n.
      Если представление размерности n можно разбить на ряд пред-
ставлений меньшей размерности f1; f2; f3 … ( f1 + f2 + ... = f ), то говорят,
что данное представление приводимо. Если же размерность представле-
ния не может быть уменьшена никаким образом, то оно называется не-
приводимым.
      Всякое приводимое представление может быть разложено на не-
приводимые представления.
      Число неприводимых представлений группы равно числу классов
в группе.
                                                                          11

Страницы