Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Сум ма квад ра тов мо ду лей ха рак те ров не при во ди мо го пред став ле -
ния рав на по ряд ку груп пы. Это мо жет быть кри те ри ем не при во ди мо сти
представления.
5) Пусть T
1
;T
2
и T
3
— ка кие-ли бо пред став ле ния не ко то рой груп -
пы G. Ес ли ха рак тер пред став ле ния T
3
ра вен про из ве де нию ха рак те ров
пред став ле ний T
1
и T
2
:
c
3
(g) = c
1
(g) c
2
(g); g Î G,
то пред став ле ние T
3
на зы ва ет ся про из ве де ни ем пред став ле ний T
1
и T
2
:
T
3
= T
1
´T
2
.
6) Ес ли груп па G на ря ду с пред став ле ни ем T
1
(g), ха рак тер ко то ро -
го ра вен c
1
(g), име ет пред став ле ние, ха рак тер ко то ро го ра вен c
1
(g
-1
),
то та кое пред став ле ние на зы ва ет ся со пря жен ным пред став ле нию T
1
и
обо зна ча ет ся
T
1
*
. Свой ст во со пря жен но сти яв ля ет ся взаимным.
1.3.5. Коль ца, по ля, те ла
1) Коль цо — не пус тое мно же ст во с дву мя опе ра ция ми
( ), ()+ ×
и вы -
пол не ни ем сле дую щих аксиом:
а) ком му та тив ность сло же ния:
a b b a+ = + ;
б) ас со циа тив ность сло же ния:
a b c a b c+ + = + +( ) ( ) ;
в) ди ст ри бу тив ность:
a b c ab bc( )+ = +
;
г) об ра ти мость сло же ния:
a x b x b a+ = = -; ,
то есть коль цо об ра зу ет абе ле ву груп пу от но си тель но го сло же ния. Коль -
цо мо жет со дер жать де ли те ли ну ля:
ab = 0
и мо жет иметь еди ни цу:
a a a× = × =1 1
.
При ме ры коль ца:
а) мно же ст во всех це лых чи сел;
б) мно же ст во всех чет ных чи сел;
в) мно же ст во всех ра цио наль ных чи сел;
г) мно же ст во всех дей ст ви тель ных чи сел;
д) мно же ст во всех ком плекс ных чи сел;
е) мно же ст во всех мно го чле нов;
ж) мно же ст во всех функ ций;
з) мно же ст во всех квад рат ных мат риц;
и) мно же ст во всех трех мер ных век то ров.
12
      Сумма квадратов модулей характеров неприводимого представле-
ния равна порядку группы. Это может быть критерием неприводимости
представления.

      5) Пусть T1;T2 и T3 — какие-либо представления некоторой груп-
пы G. Если характер представления T3 равен произведению характеров
представлений T1 и T2:
                        c3(g) = c1(g) c2(g); g Î G,
то представление T3 называется произведением представлений T1 и T2:
                                  T3 = T1´T2.

      6) Если группа G наряду с представлением T1(g), характер которо-
го равен c1(g), имеет представление, характер которого равен c1(g -1),
то такое представление называется сопряженным представлению T1 и
обозначается T1* . Свойство сопряженности является взаимным.

      1.3.5. Кольца, поля, тела

         1) Кольцо — непустое множество с двумя операциями (+), ()
                                                                 × и вы-
полнением следующих аксиом:
         а) коммутативность сложения: a + b = b + a;
         б) ассоциативность сложения: a + (b + c) = (a + b) + c;
         в) дистрибутивность: a(b + c) = ab + bc;
         г) обратимость сложения: a + x = b; x = b - a,
то есть кольцо образует абелеву группу относительного сложения. Коль-
цо может содержать делители нуля: ab = 0 и может иметь единицу:
a ×1 = 1× a = a.
         Примеры кольца:
         а) множество всех целых чисел;
         б) множество всех четных чисел;
         в) множество всех рациональных чисел;
         г) множество всех действительных чисел;
         д) множество всех комплексных чисел;
         е) множество всех многочленов;
         ж) множество всех функций;
         з) множество всех квадратных матриц;
         и) множество всех трех мерных векторов.
12

Страницы