Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ес ли
a bc ab c( ) ( )=
, то коль цо на зы ва ет ся ас со циа тив ным (при ме -
ры: а–з).
Ес ли
a
2
0=
и
a bc b ca c ab( ) ( ) ( )+ + = 0
, то это на зы ва ет ся коль цом Ли
(при мер и).
Ес ли
ab ba=
, то коль цо на зы ва ет ся ком му та тив ным (при ме -
ры а–ж).
2) Ас со циа тив ное коль цо на зы ва ет ся те лом.
3) Ком му та тив ное те ло на зы ва ет ся по лем.
По ле — это ас со циа тив ное, ком му та тив ное, коль цо, имею щее ну -
ле вой эле мент 0:
( )0 + =a a
, про ти во по лож ный эле мент
( )-a
:
( ( ))a a+ - = 0
,
еди нич ный эле мент e:
( )a e a× =
, об рат ный эле мент
a
-1
для
a ¹ 0
:
( )aa e
-
=
1
,
то есть по ле об ра зу ют абе ле ва груп па по сло же нию и абе ле ва груп па
по ум но же нию без ну ля.
При ме ры:
а) мно же ст во всех ра цио наль ных чи сел;
б) мно же ст во всех дей ст ви тель ных чи сел ;
в) мно же ст во всех ком плекс ных чи сел.
Ну ле вой эле мент оп ре де лен лишь по от но ше нию к сло же нию.
По от но ше нию к ум но же нию этот эле мент иг ра ет осо бую роль. Имен -
но, во вся ком коль це про из ве де ние лю бо го эле мен та на ну ле вой есть
ну ле вой эле мент:
a× =0 0.
Пусть ка ж дый эле мент a име ет об рат ный
a
-1
. То гда коль цо не бу -
дет иметь де ли те лей ну ля. Дей ст ви тель но, пусть
ab = 0
, но
a ¹ 0.
Ум но -
жим на
a
-1
сле ва:
a ab a a b eb b
- -
= = =
1 1
( ) .
Кро ме то го
a
-
× =
1
0 0.
Сле до ва -
тель но
b = 0.
Из от сут ст вия де ли те лей ну ля вы те ка ет, что лю бое ра вен ст во
мож но со кра тить на ну ле вой об щий мно жи тель. Ес ли
ca cb=
и
c ¹ 0
, то
c a b( ) ,- = 0
зна чит
a b- = 0
, то есть
a b=
.
Итак, по ле об ла да ет сле дую щи ми свой ст ва ми:
а) ка ж дой па ре эле мен тов
( , )a b
от ве ча ет эле мент
( )a b+
, причем
•
сло же ние ком му та тив но
a b b a+ = +
;
•
сло же ние ас со циа тив но го
a b c a b c+ + = + +( ) ( )
;
•
су ще ст ву ет един ст вен ный ну ле вой эле мент
a a+ =0
;
•
для ка ж до го эле мен та
a
су ще ст ву ет един ст вен ный об рат ный
( ); ( )- + - =a a a 0
.
б) ка ж дой па ре эле мен тов
( , )a b
от ве ча ет эле мент
( )ab
, при чем:
•
ум но же ние ком му та тив но:
ab ba=
;
13
      Если a(bc) = (ab)c, то кольцо называется ассоциативным (приме-
ры: а–з).
      Если a 2 = 0 и a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0, то это называется кольцом Ли
(пример и).
      Если ab = ba, то кольцо называется коммутативным (приме-
ры а–ж).

      2) Ассоциативное кольцо называется телом.

        3) Коммутативное тело называется полем.
        Поле — это ассоциативное, коммутативное, кольцо, имеющее ну-
левой элемент 0: (0 + a = a), противоположный элемент (-a): (a + (-a)) = 0,
единичный элемент e: (a × e = a), обратный элемент a -1 для a ¹ 0: (aa -1 = e),
то есть поле образуют абелева группа по сложению и абелева группа
по умножению без нуля.
        Примеры:
        а) множество всех рациональных чисел;
        б) множество всех действительных чисел ;
        в) множество всех комплексных чисел.
        Нулевой элемент определен лишь по отношению к сложению.
По отношению к умножению этот элемент играет особую роль. Имен-
но, во всяком кольце произведение любого элемента на нулевой есть
нулевой элемент: a× 0 = 0.
        Пусть каждый элемент a имеет обратный a -1 . Тогда кольцо не бу-
дет иметь делителей нуля. Действительно, пусть ab = 0, но a ¹ 0. Умно-
жим на a -1 слева: a -1 ab = (a -1 a)b = eb = b. Кроме того a -1 × 0 = 0. Следова-
тельно b = 0.
        Из отсутствия делителей нуля вытекает, что любое равенство
можно сократить на нулевой общий множитель. Если ca = cb и c ¹ 0, то
c(a - b) = 0, значит a - b = 0, то есть a = b.
        Итак, поле обладает следующими свойствами:
        а) каждой паре элементов (a, b) отвечает элемент (a + b), причем
        • сложение коммутативно a + b = b + a;
        • сложение ассоциативного a + (b + c) = (a + b) + c;
        • существует единственный нулевой элемент a + 0 = a;
        • для каждого элемента a существует единственный обратный
          (-a); a + (-a) = 0.
        б) каждой паре элементов (a, b) отвечает элемент (ab), причем:
        • умножение коммутативно: ab = ba;
                                                                               13

Страницы