Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

22
Прологарифмируем
x
y lnln
, тогда

y
y
y
ln
.
xy
y 1
;
1
xy
x
y
Таким образом
1
xx
.
В частности: при 1
;
2
11
x
x
при
2
1
;
xx
2
1
.
1;0; aaay
x
;
a
x
y lnln ;
a
y
y
ln
; aayay
x
lnln
;
aaa
xx
ln
.
Пусть a = e, тогда
xx
ee
.
Пример:

x
xyy
xxx
2
ln22lnln2;2
lnlnln
.
ж) Производная показательно-степенной функции.
v
uy ; )(
x
f
u
; )(
x
v
;
u
v
y lnln
u
u
vuv
y
y
ln
, откуда:
uv
u
u
vuy
v
ln
;

uvuuvuu
vv
v
ln
1
.
з) Производные обратных функций.
x
y arcsin , то есть
x
x
sin
. Дифференцируем: yy
cos1 откуда:
y
y
cos
1
.
22
1sin1cos xyy
, таким образом 
                                                   y
Прологарифмируем ln y    ln x , тогда ln y   .
                                                   y
y      1       
      ; y    y    x 1
y       x       x
                
                      
Таким образом x    x 1 .
                               
                          1     1
В частности: при   1 ;     2
                           x   x
                         1
                  при   ;
                         2
                                    x   12          x.

y  a x ; a  0; a  1 ;

ln y  x ln a ;
                  y
                  y
                                                                
                                                               
                      ln a ; y   ln a  y  a x  ln a ; a x  a x  ln a .



                      
                            
Пусть a = e, тогда e x  e x .
                                                                 2
Пример: y  2 ln x ; y   2 ln x  ln x   ln 2  2 ln x  ln .
                                                                 x
ж) Производная показательно-степенной функции.
y  u v ; u  f (x) ; v   (x) ;
ln y  v  ln u
y              u
    v ln u  v , откуда:
y               u
         u          
y  u v  v  v ln u  ;
         u           
                                 u    vu
                                     v           v 1
                                                    u  u vv ln u .



з) Производные обратных функций.
y  arcsin x , то есть x   sin x . Дифференцируем: 1  cos y  y  откуда:
         1
y          .
       cos y

cos y  1  sin 2 y  1  x 2 , таким образом
                                            22

Страницы