Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

21
Таким образом

x
x
1
ln
.
Если xy
a
log , и так как
a
x
x
a
lg
ln
log
, то

ax
x
a
ln
1
log
.
Пусть
xy ln – функция определенная везде, кроме точки x =0.

0,ln
0,ln
ln
xx
xx
xy

x
x
1
ln
,


xx
x
x
1
ln
, т.о.

x
x
1
ln
Найдем производную
)(ln xfy
. Обозначим uy ln
, )(
x
f
u .
Тогда


)(ln
)(
1
ln xf
xf
xf
u
u
uuy
.
Отношение


xf
xf
называется логарифмической производной функции
f ( x ) , то есть
 
xfxfxf
ln или

y
y
y
ln
. Это упрощает взятие
производных от сложных функций.
Пример:


3
2
sin
10
1
1
x
ex
y
x
Логарифмируем

2
1ln
2
3
sin1ln10ln xxxy , дифференцируем



y
y
x
x
x
x
y
xf
xf
2
1
2
2
3
cos
1
10
ln
откуда

3
2
sin
10
2
1
1
1
3
cos
1
10
x
ex
x
x
x
x
y
x
Способ логарифмического дифференцирования применим, если x
1.
е) Производная степенных функций .
xy , где x 0 
      Таким образом          ln x   1 .
                                        x
                                                            ln x                        1
      Если y  log a x , и так как log a x                      , то log a x            .
                                                            lg a                    x  ln a
      Пусть y  ln x – функция определенная везде, кроме точки x =0.

                 ln x, x  0
      y  ln x  
                 ln x , x  0
                                            
      ln x   1 , ln x    x        
                                                    1                1
                                                      , т.о. ln x  
                x                    x             x                  x
      Найдем производную y  ln f ( x) . Обозначим y  ln u , u  f (x) .

                              1       f  x                
      Тогда y  ln u   u   u            ln f ( x)  .
                               u       f ( x)
                      f  x 
      Отношение                называется логарифмической производной функции
                      f x 
                                                         y
f ( x ) , то есть f  x   ln f  x   f  x  или     ln y  . Это упрощает взятие
                                                         y
производных от сложных функций.
      Пример:

       y
           x  1 e sin x
                  10



                1  x 
                       2 3


                                                  3
                                                                         
      Логарифмируем ln y  10 ln x  1  sin x  ln 1  x 2 , дифференцируем
                                                  2
                                                                                
       f  x            10              3 2x      y
                 ln y         cos x          
       f x                x 1           2 1 x2   y

                   10              3 x  x  110 esin x
      откуда y        cos x 
                  x 1           1  x2     1  x2
                                                     3
                                                                 
      Способ логарифмического дифференцирования применим, если x  1.
      е) Производная степенных функций . y  x , где x  0



                                                      21

Страницы