Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

25
6) Производные высших порядков
Определение 1: производная функции )(xf
в точке x называется
второй производной функции )(
x
f
, или производной второго порядка в
этой точке.
Обозначения:

xfy
; ;
xxxx
fy
dx
fd
dx
yd
;;;
2
2
2
2
Таким образом:

yy
или
dx
dy
dx
d
dx
yd
2
2
.
Определение 2: производная от второй производной называется
третьей производной.
Определение 3: n-ой производной, или производной n-го порядка
функции
f(x) в точке х, называется производная от производной (n-1)-го
порядка в этой точке и обозначается:
 

;;;
n
n
nn
dx
yd
xfy

.;
1
1
n
n
n
n
n
n
dx
yd
dx
d
dx
yd
dx
xdf
Пример: ;45
4
xxy
;54
3
xy
;12
2
xy
;24
xy

.0;24
54
yy
Вторая производная имеет механический смысл ускорения. Пусть
 
tV
dt
ds
tfS ; – скорость;
dt
dV
dt
dS
dt
d
dt
Sd
2
2
– ускорение.
ОБЩИЕ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ:
а)
 
nn
cucuucuccuuccu
;; ;
б)

;vuvu
   6) Производные высших порядков
   Определение 1: производная                        функции f (x) в точке x называется
второй производной функции f ( x) , или производной второго порядка в
этой точке.
                                           d2y d2 f
   Обозначения: y; f  x  ;               ;     ; y xx ; f xx
                                           dx 2 dx 2

                               d 2 y d  dy 
   Таким образом: y   y  или
                                    .
                                dx 2 dx  dx 
   Определение 2: производная                        от     второй     производной    называется
третьей производной.
   Определение 3: n-ой производной, или                              производной   n-го   порядка
функции f(x) в точке х, называется производная от производной (n-1)-го

                                       n  n  dny
порядка в этой точке и обозначается: y ; f  x ; n ;
                                                                         dx

    df n  x  d n y d  d n 1 y 
              ;                     .
     dx n dx n dx  dx n 1 

   Пример: y  x 4  5 x  4;

                 y  4 x3  5;

                          y  12 x 2 ;

                    y  24 x; y 4   24; y 5   0.
   Вторая производная имеет механический смысл ускорения. Пусть
                    ds
      S  f t ;       V t  – скорость;
                    dt
    d 2 S d  dS  dV
                  – ускорение.
    dt 2 dt  dt  dt
   ОБЩИЕ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ:

     а) cu   cu; cu   cu  cu; cu n   cu n  ;

     б) u  v   u  v;

                                                      25

Страницы