Математика. Раздел 3. Математическое моделирование в экономике и управлении. Казанцев Э.Ф. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

y
i + 1
= y
i
+ h
* (f (x
i
, y
i
) + f (x
i
+ h, y
i
+ h * f (x
i
, y
i
))) / 2
Погрешность метода пропорциональна h
3
.
При высоких требованиях к точности решения можно воспользоваться
методом Рунге-Кутта, реализующийся следующими формулами:
K
1
(x, y) = h*f (x, y)
K
2
(x, y) = h*f (x + h/2, y + k
1
(x, y)/2)
K
3
(x, y) = h*f (x + h/2, y + k
2
(x, y)/2)
K
4
(x, y) = h*f (x + h, y
i
+ k
3
(x, y))
x
i + 1
= x
i
+ h
y
i + 1
= y
i
+ (k
1
(x, y) + 2* K
2
(x, y) + 2* K
3
(x, y) + K
4
(x, y)) / 6
Погрешность метода пропорциональна h
5
.
Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений 2 порядка Y''
+ p(x)Y' + g(x)Y = f(x)
c граничными условиями
k
11
*Y(a) + k
12
*Y'(a) = A,
K
21
*Y(b) + k
22
*Y'(b) = B,
также применяется
метод конечных разностей, при этом производные
входящие в уравнение и дополнительные условия заменяются следующими
конечно-разностными отношениями
h
YY
Y
ii
−
=
′
+1
h
YY
Y
ii
2
11 −+
−
=
′
h
YY
Y
ii 1−
−
=
′
2
11
2
111
1
2
h
YYY
h
YYYY
h
YY
Y
iiiiiiiii
i
−+−++
+
+
−
=
−
−
−
=
′
−
′
=
′′
В результате получим систему алгебраических уравнений, решение
которой даст таблицу приближенных значений искомой функции.
Пример 1. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го
порядка:
16
      yi + 1 = y i + h * (f (xi , yi) + f (xi + h, yi + h * f (xi , yi ))) / 2
      Погрешность метода пропорциональна h3.
При высоких требованиях к точности решения можно воспользоваться
методом Рунге-Кутта, реализующийся следующими формулами:
      K1(x, y) = h*f (x, y)
      K2(x, y) = h*f (x + h/2, y + k1(x, y)/2)
      K3(x, y) = h*f (x + h/2, y + k2(x, y)/2)
      K4(x, y) = h*f (x + h, yi + k3(x, y))
      xi + 1 = x i + h
      yi + 1 = y i + (k1(x, y) + 2* K2(x, y) + 2* K3(x, y) + K4(x, y)) / 6
      Погрешность метода пропорциональна h5.
Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений 2 порядка                                  Y''
+ p(x)Y' + g(x)Y = f(x)
      c граничными условиями
      k11*Y(a) + k12*Y'(a) = A,
      K21*Y(b) + k22*Y'(b) = B,
      также применяется метод конечных разностей, при этом производные
входящие в уравнение и дополнительные условия заменяются следующими
конечно-разностными отношениями


                 Yi +1 − Yi                        Yi+1 −Yi−1                     Yi − Yi −1
       Y′ =                                 Y′ =                           Y′ =
                      h                                2h                             h


                 Yi′+1 − Yi′ Yi +1 − Yi − Yi − Yi −1 Yi +1 − 2Yi + Yi −1
      Yi′+′1 =              =            2
                                                    =
                      h                h                     h2


      В результате получим систему алгебраических уравнений, решение
которой даст таблицу приближенных значений искомой функции.
      Пример 1. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го
порядка:

                                                     16

Страницы