Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При мер. «Орел» и «реш ка».
Чис ло, яв ляю щее ся вы ра же ни ем ме ры объ ек тив ной воз мож но сти
на сту п ле ния со бы тия, на зы ва ет ся его ве ро ят но стью и обо зна ча ет ся
сим во лом P( A). Чи та ет ся «ве ро ят ность со бы тия A».
Тео ре ма 1. Ве ро ят ность со бы тия A рав на от но ше нию чис ла слу ча -
ев m, бла го при ят ст вую щих ему из об ще го чис ла n един ст вен но воз мож -
ных и не со вмес ти мых слу ча ев, к чис лу n:
P(A) = m/n (клас си че ская ве ро ят ность) (4.2.1)
При мер. Име ет ся 100 оди на ко вых де та лей, сре ди ко то рых 3 бра -
ко ван ных. Най ти со бы тие A — по яв ле ние хо ро шей де та ли. Это му со бы -
тию бла го при ят ст ву ет 97 слу ча ев, сле до ва тель но, ве ро ят ность со бы -
тия A: P(A) = 97/100 = 0,97. Ве ро ят ность по яв ле ния бра ко ван ной де та ли
(со бы тие B ): P(B)= 3/100 = 0,03.
След ст вие 1. Ве ро ят ность лю бо го со бы тия не мо жет быть мень ше
ну ля и боль ше еди ни цы. Дей ст ви тель но: со бы тие A удов ле тво ря ет не ра -
вен ст ву:
0 £ m £ n. Раз де лим это не ра вен ст во на n, и по лу чим: 0 £ m/n £ 1
или 0 £ P(A) £ 1.
След ст вие 2. Ве ро ят ность дос то вер но го со бы тия рав на еди ни це.
Дей ст ви тель но: для дос то вер но го со бы тия m = n, то есть P(A) = 1.
След ст вие 3. Ве ро ят ность не воз мож но го со бы тия рав на ну лю.
Дей ст ви тель но: m = 0, то есть P(B) = 0.
2) Сло же ние ве ро ят но стей
Тео ре ма 2. Ес ли со бы тия A и B не со вмес ти мы, то ве ро ят ность то -
го, что про изой дет од но из этих со бы тий рав на сум ме ве ро ят но стей на -
сту п ле ния ка ж до го со бы тия.
До ка за тель ст во. Пусть из об ще го чис ла n слу ча ев, со бы тию A бла -
го при ят ст ву ют k слу ча ев, а со бы тию B — t слу ча ев, то гда P(A) = k/n;
P(B) = t/n. По ус ло вию со бы тия A и B не со вмес ти мые. По это му,
со бы тию «или A, или B» бла го при ят ст ву ет (k + t) слу ча ев. P (или A,
или B) = (k + t)/n = k/n + t/n , то есть P(или A, или B) = P(A) + P(B).
След ст вие. Сум ма ве ро ят но стей всех един ст вен но воз мож ных со -
бы тий рав на единице.
P(A
1
) + P(A
2
) + P(A
3
) + … + P(A
k
) = 1.
22
     Пример. «Орел» и «решка».
     Число, являющееся выражением меры объективной возможности
наступления события, называется его вероятностью и обозначается
символом P(A). Читается «вероятность события A».
      Теорема 1. Вероятность события A равна отношению числа случа-
ев m, благоприятствующих ему из общего числа n единственно возмож-
ных и несовместимых случаев, к числу n:
     P(A) = m/n (классическая вероятность)                      (4.2.1)
      Пример. Имеется 100 одинаковых деталей, среди которых 3 бра-
кованных. Найти событие A — появление хорошей детали. Этому собы-
тию благоприятствует 97 случаев, следовательно, вероятность собы-
тия A: P(A) = 97/100 = 0,97. Вероятность появления бракованной детали
(событие B): P(B)= 3/100 = 0,03.
      Следствие 1. Вероятность любого события не может быть меньше
нуля и больше единицы. Действительно: событие A удовлетворяет нера-
венству:
      0 £ m £ n. Разделим это неравенство на n, и получим: 0 £ m/n £ 1
или 0 £ P(A) £ 1.
     Следствие 2. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно: для достоверного события m = n, то есть P(A) = 1.
     Следствие 3. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно: m = 0, то есть P(B) = 0.
      2) Сложение вероятностей
      Теорема 2. Если события A и B несовместимы, то вероятность то-
го, что произойдет одно из этих событий равна сумме вероятностей на-
ступления каждого события.
      Доказательство. Пусть из общего числа n случаев, событию A бла-
гоприятствуют k случаев, а событию B — t случаев, тогда P(A) = k/n;
      P(B) = t/n. По условию события A и B несовместимые. Поэтому,
событию «или A, или B» благоприятствует (k + t) случаев. P (или A,
или B) = (k + t)/n = k/n + t/n , то есть P(или A, или B) = P(A) + P(B).
      Следствие. Сумма вероятностей всех единственно возможных со-
бытий равна единице.
                 P(A1) + P(A2) + P(A3) + … + P(Ak) = 1.
22

Страницы