Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Тео ре ма 3. Ве ро ят ность то го, что про изой дут со бы тие A и со бы тие
B, рав на про из ве де нию ве ро ят но сти од но го из них на ве ро ят ность вто -
ро го, вы чис лен ную в пред по ло же нии, что пер вое со бы тие име ло ме сто:
P(и A, и B) = P(A) P
A
(B).
До ка за тель ст во: Пусть все го из n слу ча ев, m бла го при ят ст ву ют со -
бы тию A. То гда P(A) = m/n. Пусть из m слу ча ев, бла го при ят ст вую щих A,
k слу ча ев бла го при ят ст ву ют B. То гда P
A
(B) = k/m. Со бы тию «и A, и B»
бла го при ят ст ву ют толь ко k слу ча ев из n: P (и A, и B) = k/n.
P (и A, и B) = k/n = (mk)/(nm) = (m/n)(k/m) = P(A) P
A
(B).
Со бы тия A и B иг ра ют оди на ко вую роль, по это му P(и A, и B) =
= P(B) P
B
(A).
Со бы тие A на зы ва ет ся не за ви си мым от со бы тия B, ес ли ве ро ят -
ность со бы тия A не из ме ня ет ся, ко гда ста но вит ся из вест ным, что со бы -
тие В име ет ме сто. P(A) = P
B
(A) и P
A
(B) = P(B), то есть со бы тия A и B
независимы.
Тео ре ма 4. Ес ли со бы тие A и B не за ви си мые, то ве ро ят ность то го,
что про изой дут и со бы тие A, и со бы тие B, рав на про из ве де нию их ве ро -
ят но стей.
До ка за тель ст во. По тео ре ме 3: P(и A, и B) = P(A) P(B).
При мер. Ве ро ят ность без от каз ной ра бо ты ав то ма ши ны — 0,9.
Най ти ве ро ят ность без от каз ной ра бо ты двух автомашин.
P(и A, и B)
= × =0 9 0 9 0 81, , , .
Обоб ще ние на не сколь ко не за ви си мых со бы тий:
Тео ре ма 4а. Ес ли со бы тия A, B, …, L не за ви си мы в со во куп но сти,
то ве ро ят ность то го, что про изой дут со бы тия и A, и B, …, и L, рав на про -
из ве де нию их ве ро ят но стей:
P(и A, и B, …, и L) =
P A P B P L( ) ( ) ( ).× × ×K
При мер. На де ся ти кар точ ках сто ят циф ры 1, 2, 3, 4, …, 8, 9, 0. Ка -
ко ва ве ро ят ность вы брать нау да чу циф ры 1, 2, 5?
Со бы тие A: вы брать кар точ ку «1»: P
A
= 1/10.
Со бы тие B: вы брать кар точ ку «2»: P
B
= 1/9.
Со бы тие C: вы брать кар точ ку «5»: P
C
= 1/8.
P(и A, и B, и C) = 1/10 × 1/9 × 1/8 = 1/720.
24
      Теорема 3. Вероятность того, что произойдут событие A и событие
B, равна произведению вероятности одного из них на вероятность вто-
рого, вычисленную в предположении, что первое событие имело место:
                         P(и A, и B) = P(A) PA(B).
      Доказательство: Пусть всего из n случаев, m благоприятствуют со-
бытию A. Тогда P(A) = m/n. Пусть из m случаев, благоприятствующих A,
k случаев благоприятствуют B. Тогда PA(B) = k/m. Событию «и A, и B»
благоприятствуют только k случаев из n: P (и A, и B) = k/n.
        P (и A, и B) = k/n = (mk)/(nm) = (m/n)(k/m) = P(A) PA(B).
      События A и B играют одинаковую роль, поэтому P(и A, и B) =
= P(B) PB(A).
      Событие A называется независимым от события B, если вероят-
ность события A не изменяется, когда становится известным, что собы-
тие В имеет место. P(A) = PB(A) и PA(B) = P(B), то есть события A и B
независимы.

      Теорема 4. Если событие A и B независимые, то вероятность того,
что произойдут и событие A, и событие B, равна произведению их веро-
ятностей.
      Доказательство. По теореме 3: P(и A, и B) = P(A) P(B).
      Пример. Вероятность безотказной работы автомашины — 0,9.
Найти вероятность безотказной работы двух автомашин.
                         P(и A, и B) = 0,9 × 0,9 = 0,81.
      Обобщение на несколько независимых событий:

      Теорема 4а. Если события A, B, …, L независимы в совокупности,
то вероятность того, что произойдут события и A, и B, …, и L, равна про-
изведению их вероятностей:
                P(и A, и B, …, и L) = P ( A) × P (B) × K × P (L).
      Пример. На десяти карточках стоят цифры 1, 2, 3, 4, …, 8, 9, 0. Ка-
кова вероятность выбрать наудачу цифры 1, 2, 5?
      Событие A: выбрать карточку «1»: PA = 1/10.
      Событие B: выбрать карточку «2»: PB = 1/9.
      Событие C: выбрать карточку «5»: PC = 1/8.
                P(и A, и B, и C) = 1/10 × 1/9 × 1/8 = 1/720.
24

Страницы