Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4) Пол ная ве ро ят ность
При мер. Три за во да вы пус ка ют лам поч ки. На 100 лам по чек: I за -
вод вы пус ка ет — 10 бра ко ван ных лам по чек — и обес пе чи ва ет 50% лам -
по чек го ро да; II за вод вы пус ка ет — 15 бра ко ван ных лам по чек — и обес -
пе чи ва ет 30% лам по чек го ро да; III за вод — 20 бракованных лампочек —
20% лампочек города.
На до най ти ве ро ят ность ку пить хо ро шую лам поч ку P(F).
Ве ро ят ность со бы тия - из го тов ле ние лам по чек заводом:
I-ым за во дом: P(A
1
) = 0,5;
II-ым за во дом: P( A
2
) = 0,3;
III-им за во дом: P(A
3
) = 0,2.
Ве ро ят ность лам поч ки быть хо ро шей при ус ло вии из го тов ле -
ния на:
I-ом за во де:
P
A
1
(F) = 0,90; II-м за во де:
P
A
2
(F) = 0,85; III-м за во де:
P
A
3
(F) = =0,80.
Ис ко мое со бы тие F бу дет иметь ме сто ес ли про изой дут:
•
или со бы тие K: лам поч ки из го тов ле ны на I-м за во де:
P(K) = P(A
1
) ×
P
A
1
(F) = 0,5 × 0,9 = 0,45;
•
или со бы тие M: лам поч ки из го тов ле ны на II-м за во де:
P(M) = P(A
2
) ×
P
A
2
(F) = 0,3 × 0,85 = 0,255;
•
или со бы тие L: лам поч ки из го тов ле ны на III-м за во де:
P(L) = P(A
3
) ×
P
A
3
(F) = 0,2 × 0,8 = 0,16.
Со бы тия K,L и M яв ля ют ся не со вмес ти мы ми, по это му пол ная ве -
ро ят ность ку пить хо ро шую лам поч ку:
P(F) = P(или K, или M, или L) = P(K) + P(M) + P(L) = P(A
1
) ×
P
A
3
(F) +
+ P(A
2
) ×
P
A
2
(F) + P(A
3
) ×
P
A
3
(F) = 0,5 × 0,9 + 0,3 × 0,85 + 0,2 × 0,8 = 0,45 +
+ 0,255 + 0,16 = 0,865.
Тео ре ма 5. В об щем ви де фор му ла пол ной ве ро ят но сти име ет вид:
P(F) = P(A
1
) ×
P
A
1
(F) + P(A
2
) ×
P
A
2
(F) +…+ P(A
n
) ×
P
A
n
(F) =
P A P F
i
A
i
n
i
( ) ( )×
=
å
1
25
        4) Полная вероятность
        Пример. Три завода выпускают лампочки. На 100 лампочек: I за-
вод выпускает — 10 бракованных лампочек — и обеспечивает 50% лам-
почек города; II завод выпускает — 15 бракованных лампочек — и обес-
печивает 30% лампочек города; III завод — 20 бракованных лампочек —
20% лампочек города.
        Надо найти вероятность купить хорошую лампочку P(F).
        Вероятность события - изготовление лампочек заводом:
        I-ым заводом: P(A1) = 0,5;
        II-ым заводом: P(A2) = 0,3;
        III-им заводом: P(A3) = 0,2.
        Вероятность лампочки быть хорошей при условии изготовле-
ния на:
        I-ом заводе: PA 1 (F) = 0,90; II-м заводе: PA 2 (F) = 0,85; III-м заводе:
PA 3 (F) = =0,80.
        Искомое событие F будет иметь место если произойдут:
        • или событие K: лампочки изготовлены на I-м заводе:

                    P(K) = P(A1) × PA 1 (F) = 0,5 × 0,9 = 0,45;

      • или событие M: лампочки изготовлены на II-м заводе:

                   P(M) = P(A2) × PA 2 (F) = 0,3 × 0,85 = 0,255;

      • или событие L: лампочки изготовлены на III-м заводе:

                    P(L) = P(A3) × PA 3 (F) = 0,2 × 0,8 = 0,16.

     События K,L и M являются несовместимыми, поэтому полная ве-
роятность купить хорошую лампочку:
     P(F) = P(или K, или M, или L) = P(K) + P(M) + P(L) = P(A1) ×PA 3 (F) +
+ P(A2) ×PA 2 (F) + P(A3) × PA 3 (F) = 0,5 × 0,9 + 0,3 × 0,85 + 0,2 × 0,8 = 0,45 +
+ 0,255 + 0,16 = 0,865.

      Теорема 5. В общем виде формула полной вероятности имеет вид:
                                                                      n
P(F) = P(A1) × PA 1 (F) + P(A2) × PA 2 (F) +…+ P(An) × PA n (F) = å P ( Ai ) × PA i (F )
                                                                     i =1


                                                                                     25

Страницы