ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
От вет да ет фор му ла Бай е са:
P A
P A P F
P A P F
F i
i
A
i
A
i
N
i
i
( )
( ) ( )
( ) ( )
=
×
×
=
å
1
, (4.2.2)
то есть это по сле опыт ные ве ро ят но сти при всех n воз мож ных ги по те зах:
A
1
, A
2
, …, А
n
. По это му фор му лу Бай е са на зы ва ют фор му лой ги по тез. Она
слу жит для оцен ки ве ро ят но стей ги по тез A
1
, A
2
, …, A
n
по сле то го как со -
бы тие F на сту пи ло.
6) Фор му ла Бер нул ли
За да ча: Пусть есть не за ви си мое ис пы та ние, ко то рое мо жет на сту -
пить с ве ро ят но стью p. На до най ти ве ро ят ность P
mn
то го, что из n опы тов
ров но m окажутся успешными.
Ре ше ние: m ис пы та ний со став ля ют не упо ря до чен ное под мно же -
ст во мно же ст ва n, сле до ва тель но, их чис ло рав но чис лу со че та ний по m
из n. Ве ро ят ность ка ж до го из m воз мож но стей на сту п ле ния нуж но го
со бы тия по тео ре ме ум но же ния ве ро ят но стей рав но про из ве де нию m
ве ро ят но стей на сту п ле ния со бы тия p на про из ве де ние (n – m) ве ро ят -
но стей не на сту п ле ния со бы тия q = 1 – p, то есть рав на p
m
× q
n–m
. Ука зан -
ные ве ро ят но сти яв ля ют ся не со вмес ти мы ми со бы тия ми, по это му по
тео ре ме сло же ния ве ро ят ность ис ко мо го со бы тия рав на сум ме оди на -
ко вых сла гае мых, ка ж дое из ко то рых рав но p
m
× q
n-m
, а чис ло сла гае мых
рав но
С
n
m
:
P C p q
n
m n m
p q
n m n
m m n m m n m
,
!
! ( )!
= × × =
× -
× ×
- -
. (4.2.3)
Дан ная фор му ла но сит на зва ние фор му лы Бер нул ли.
Ве ро ят но сти P
mn
на зы ва ют ся би но ми аль ны ми ве ро ят но стя ми, так
как они сов па да ют с (m + 1) чле ном бинома Ньютона:
(p + q)
n
= q
n
+ C
1
n
× q
n-1
× p + C
2
n
× q
n-2
× p
2
+…+ C
n-1
n
× q × p
n-1
+ p
n
.
При мер. Мо не та под бра сы ва ет ся 10 раз. Ка ко ва ве ро ят ность то го,
что герб вы па дет 3 раза?
p = 1/2; q = 1/2;
P C
10 3 10
3 3 7
10
0 5 0 5
10 9 8
1 2 3
1
2
15
128
,
( , ) ( , )= × × =
× ×
× ×
× =
.
27
Ответ дает формула Байеса:
P ( Ai ) × PA i (F )
PF ( Ai ) = N
, (4.2.2)
å P( Ai ) × PAi (F )
i =1
то есть это послеопытные вероятности при всех n возможных гипотезах:
A1, A2, …, Аn. Поэтому формулу Байеса называют формулой гипотез. Она
служит для оценки вероятностей гипотез A1, A2, …, An после того как со-
бытие F наступило.
6) Формула Бернулли
Задача: Пусть есть независимое испытание, которое может насту-
пить с вероятностью p. Надо найти вероятность Pmn того, что из n опытов
ровно m окажутся успешными.
Решение: m испытаний составляют неупорядоченное подмноже-
ство множества n, следовательно, их число равно числу сочетаний по m
из n. Вероятность каждого из m возможностей наступления нужного
события по теореме умножения вероятностей равно произведению m
вероятностей наступления события p на произведение (n – m) вероят-
ностей не наступления события q = 1 – p, то есть равна pm× qn–m. Указан-
ные вероятности являются несовместимыми событиями, поэтому по
теореме сложения вероятность искомого события равна сумме одина-
ковых слагаемых, каждое из которых равно pm× qn-m, а число слагаемых
равно С nm :
n!
Pn, m = C nm × p m × q n - m = × p m ×q n -m . (4.2.3)
m !× (n - m)!
Данная формула носит название формулы Бернулли.
Вероятности Pmn называются биномиальными вероятностями, так
как они совпадают с (m + 1) членом бинома Ньютона:
(p + q)n = qn + C1n × qn-1 × p + C2n × qn-2 × p2 +…+ Cn-1n × q × pn-1 + pn.
Пример. Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того,
что герб выпадет 3 раза?
p = 1/2; q = 1/2;
10 × 9 × 8 1 15
P10, 3 = C103 × (0,5) 3 × (0,5) 7 = × 10 = .
1× 2 × 3 2 128
27
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
