Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ес ли ве ро ят ность p на сту п ле ния со бы тия в ка ж дом ис пы та нии
по сто ян на и от лич на от 0 и 1, а чис ло ис пы та ний дос та точ но ве ли ко, то
ве ро ят ность
P
m,n
то го, что в n не за ви си мых ис пы та ни ях со бы тие на сту -
па ет m раз, приближенно равна:
P
f x
npq
m n,
( )
»
;
где
f x e
x
( ) = ×
-
1
2
2
2
p
,
x
m nq
npq
=
-
. (4.2.4)
Дан ная фор му ла но сит на зва ние при бли жен ной фор му лы Му ав -
ра-Ла п ла са.
Ес ли p близ ка к 0 и 1, то
P
np
m
e
m n
m
np
,
( )
!
» ×
-
. (4.2.5)
Это при бли жен ная фор му ла Пу ас со на.
4.2.2 Слу чай ные ве ли чи ны
При ме не ние тео рии ве ро ят но стей к об ра бот ке ре зуль та тов на -
блю де ний (экс пе ри мен тов) ос но ва но на по ня тии слу чай ной ве ли чи ны.
Оп ре де ле ние 1. Ве ли чи на x, при ни маю щая в за ви си мо сти от не ко -
то рых слу чай ных об стоя тельств од но из зна че ний x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
, имею -
щих оп ре де лен ные ве ро ят но сти p
1
, p
2
, p
3
, …, p
n
, на зы ва ет ся слу чай ной
ве ли чи ной.
Слу чай ные ве ли чи ны бы ва ют дис крет ны ми (с дис крет ным ря дом
воз мож ных зна че ний) и не пре рыв ны ми (имею щи ми сколь угод но близ -
кие воз мож ные зна че ния). Сна ча ла рас смот рим дискретные величины.
1) Дис крет ные ве ли чи ны
Со во куп ность зна че ний слу чай ных ве ли чин и со от вет ст вую щих
ве ро ят но стей на зы ва ет ся рас пре де ле ни ем случайной величины.
Значение x
1
x
2
x
3
… x
n
Вероятность p
1
p
2
p
3
… p
n
28
      Если вероятность p наступления события в каждом испытании
постоянна и отлична от 0 и 1, а число испытаний достаточно велико, то
вероятность Pm,n того, что в n независимых испытаниях событие насту-
пает m раз, приближенно равна:
                                                            f ( x)
                                               Pm, n »               ;
                                                             npq
где
                  1             2              m - nq
      f ( x) =         × e -x       2
                                        , x=            .                         (4.2.4)
                  2p                             npq
     Данная формула носит название приближенной формулы Муав-
ра-Лапласа.
     Если p близка к 0 и 1, то
                 (np) m - np
      Pm, n »          ×e .                                                       (4.2.5)
                   m!
      Это приближенная формула Пуассона.

      4.2.2 Случайные величины

     Применение теории вероятностей к обработке результатов на-
блюдений (экспериментов) основано на понятии случайной величины.

      Определение 1. Величина x, принимающая в зависимости от неко-
торых случайных обстоятельств одно из значений x1, x2, x3, …, xn, имею-
щих определенные вероятности p1, p2, p3, …, pn, называется случайной
величиной.
      Случайные величины бывают дискретными (с дискретным рядом
возможных значений) и непрерывными (имеющими сколь угодно близ-
кие возможные значения). Сначала рассмотрим дискретные величины.
      1) Дискретные величины
     Совокупность значений случайных величин и соответствующих
вероятностей называется распределением случайной величины.

 Значение                  x1                   x2                       x3   …   xn
Вероятность                p1                   p2                       p3   …   pn

28

Страницы