Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

г) ма те ма ти че ское ожи да ние про из ве де ния не за ви си мых слу чай -
ных ве ли чин рав но про из ве де нию их ма те ма ти че ских ожиданий:
E(xy) = E(x)×E(y);
д) ес ли все зна че ния слу чай ной ве ли чи ны x умень шить (уве ли -
чить) на од но и то же чис ло c, то ма те ма ти че ское ожи да ние ее умень -
шит ся (уве ли чит ся) на то же чис ло c:
E(x – c) = E(x) – c.
След ст вие. Ма те ма ти че ское ожи да ние от кло не ния слу чай ной ве -
ли чи ны x от ее ма те ма ти че ско го ожи да ния рав но ну лю:
E[x – E(x)] = 0.
Вве дем по ня тие дис пер сии.
Оп ре де ле ние 3. Дис пер си ей слу чай ной ве ли чи ны на зы ва ет ся ма -
те ма ти че ское ожи да ние квад ра та от кло не ния от ее ма те ма ти че ско го
ожи да ния:
s
2
= E [x – E(x)]
2
= [x
1
– E(x)]
2
p
1
+ [x
2
– E(x)]
2
p
2
+ … + [x
n
– E(x)]
2
p
n
=
=
[ ( )]x E x p
i i
i
n
-
=
å
2
1
. (4.2.7)
Свой ст ва дис пер сии:
а) дис пер сия по сто ян ной ве ли чи ны рав на нулю:
s
2
(a) = 0;
б) по сто ян ный мно жи тель мож но вы но сить за знак дис пер сии,
воз во дя его в квадрат:
s
2
(kx) = k
2
s
2
(x);
в) дис пер сия слу чай ной ве ли чи ны рав на ма те ма ти че ско му ожи да -
нию квад ра та ее без квад ра та ее ма те ма ти че ско го ожидания:
s
2
(x) = E(x
2
) – E
2
(x);
г) дис пер сия сум мы ко неч но го чис ла слу чай ных ве ли чин рав на
сум ме их дисперсий:
s
2
(x + y) = s
2
(x) + s
2
(y);
30
     г) математическое ожидание произведения независимых случай-
ных величин равно произведению их математических ожиданий:

                                 E(xy) = E(x)×E(y);
      д) если все значения случайной величины x уменьшить (увели-
чить) на одно и то же число c, то математическое ожидание ее умень-
шится (увеличится) на то же число c:
                                E(x – c) = E(x) – c.
     Следствие. Математическое ожидание отклонения случайной ве-
личины x от ее математического ожидания равно нулю:
                                  E[x – E(x)] = 0.
     Введем понятие дисперсии.
     Определение 3. Дисперсией случайной величины называется ма-
тематическое ожидание квадрата отклонения от ее математического
ожидания:

s2 = E [x – E(x)]2 = [x1 – E(x)]2 p1 + [x2 – E(x)]2 p2 + … + [xn – E(x)]2 pn =
        n
     =å[ x i - E ( x )]2 pi .                                           (4.2.7)
       i =1

     Свойства дисперсии:
     а) дисперсия постоянной величины равна нулю:
                                        2
                                       s (a) = 0;
     б) постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии,
возводя его в квадрат:
                                   2         2 2
                                  s (kx) = k s (x);
     в) дисперсия случайной величины равна математическому ожида-
нию квадрата ее без квадрата ее математического ожидания:

                                s2(x) = E(x2) – E2(x);
     г) дисперсия суммы конечного числа случайных величин равна
сумме их дисперсий:

                            s2(x + y) = s2 (x) + s2(y);
30

Страницы