ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
д) дис пер сия раз но сти слу чай ных ве ли чин рав на сум ме их дис -
пер сий:
s
2
(x – y) = s
2
(x) + s
2
(y).
Дей ст ви тель но: x – y = x + (–1) y, то гда
s
2
(x – y) = s
2
(x) + s
2
[(–1)y] = s
2
(x) + (–1)
2
s
2
(y) = s
2
(x) + s
2
(y).
е) Ес ли есть не сколь ко не за ви си мых слу чай ных ве ли чин x
1
, x
2
, …
x
n
, то мож но вы чис лить дис пер сию каждой из них:
s
2
1
= E[x
1
– E(x
1
)]
2
; s
2
2
= E[x
2
– E(x
2
)]
2
… .
В об щем слу чае: s
2
i
= E[x
i
– E(x
i
)]
2
;
ж) мож но вы чис лить дис пер сию сред ней ве ли чи ны:
s
x
n n
E x E x E
x x x
n
E x E x E x
n
2 2
1
2
1
2
= - =
+ + +
-
+ + +
é
ë
[ ( )]
( ) ( ) ( )K K
ê
ù
û
ú
2
=
= 1/n
2
× E{[x
1
– E(x
1
)] + [x
2
– E(x
2
)] + … + [x
n
– E(x
n
)]}
2
=
= 1/n ×
s s s
1
2
2
2 2
+ + +K
n
n
.
Ес ли все дис пер сии рав ны ме ж ду со бой, то
s s
x
n
2 2
=
, то есть дис -
пер сия сред ней в n раз мень ше дис пер сии ка ж дой слу чай ной величины.
Тео ре ма 6. Ма те ма ти че ское ожи да ние чис ла на сту п ле ний со бы тия
A в n не за ви си мых ис пы та ний, в ка ж дом из ко то рых оно мо жет на сту -
пить с по сто ян ной ве ро ят но стью p , рав но np, а дис пер сия рав на npq, где
q — ве ро ят ность не на сту п ле ния со бы тия A.
До ка за тель ст во. n — не за ви си мых ис пы та ний — это рас пре де ле -
ние слу чай ных ве ли чин x
1
, x
2
, …, x
n
, вы ра жаю щих чис ло на сту п ле ний со -
бы тия A со от вет ст вен но в 1, 2, …, n-ом ис пы та ни ях — все го n.
Рас смот рим од но из них — 1-е. У не го есть два зна че ния: 0 или 1;
p = 1; q = 0.
Ма те ма ти че ское ожи да ние: E(x
1
) = x
1
p
1
+ x
2
p
2
= 0 × q + 1 × p = p.
Дис пер сия: s
2
(x)= E[x – E(x)]
2
= [x
1
– E(x)]
2
p
1
+ [x
2
– E(x)]
2
p
2
=
= (0 – p)
2
× q + (1 – p)
2
p = p
2
q – q
2
p = pq(1/(p + q)) = pq.
A все го n — ис пы та ний, сле до ва тель но: E(x) = np; s
2
(x) = npq.
31
д) дисперсия разности случайных величин равна сумме их дис-
персий:
s2(x – y) = s2(x) + s2(y).
Действительно: x – y = x + (–1) y, тогда
s2(x – y) = s2(x) + s2[(–1)y] = s2(x) + (–1)2s2(y) = s2(x) + s2(y).
е) Если есть несколько независимых случайных величин x1, x2, …
xn, то можно вычислить дисперсию каждой из них:
2 2 2 2
s 1 = E[x1 – E(x1)] ; s 2 = E[x2 – E(x2)] … .
В общем случае: s2i = E[xi – E(xi)]2;
ж) можно вычислить дисперсию средней величины:
2
2 é x + x 2 +K+ x n E ( x 1 ) + E ( x 2 )+K+E ( x n ) ù
2
s = E[ x - E ( x )] = E ê 1
x - ú =
ë n n û
= 1/n2 × E{[x1 – E(x1)] + [x2 – E(x2)] + … + [xn – E(xn)]}2 =
s 12 + s 22 + K + s 2n
= 1/n × .
n
Если все дисперсии равны между собой, то s 2x = s 2 n, то есть дис-
персия средней в n раз меньше дисперсии каждой случайной величины.
Теорема 6. Математическое ожидание числа наступлений события
A в n независимых испытаний, в каждом из которых оно может насту-
пить с постоянной вероятностью p, равно np, а дисперсия равна npq, где
q — вероятность ненаступления события A.
Доказательство. n — независимых испытаний — это распределе-
ние случайных величин x1, x2, …, xn, выражающих число наступлений со-
бытия A соответственно в 1, 2, …, n-ом испытаниях — всего n.
Рассмотрим одно из них — 1-е. У него есть два значения: 0 или 1;
p = 1; q = 0.
Математическое ожидание: E(x1) = x1 p1 + x2 p2 = 0 × q + 1 × p = p.
Дисперсия: s2(x)= E[x – E(x)]2 = [x1 – E(x)]2 p1 + [x2 – E(x)]2 p2 =
= (0 – p)2× q + (1 – p)2 p = p2q – q2p = pq(1/(p + q)) = pq.
A всего n — испытаний, следовательно: E(x) = np; s2(x) = npq.
31
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
