Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

От но ше ние
F x x F x
x
( ) ( )+ -D
D
ха рак те ри зу ет плот ность, с ко то рой
рас пре де ля ют ся слу чай ные зна че ния в дан ной точ ке.
В пре де ле при Dx ® 0
lim
( ) ( )
( ) ( )
D
D
D
x
F x x F x
x
F x f x
®
+ -
=
¢
=
0
на зы ва ет -
ся плот но стью рас пре де ле ния или плот но стью ве ро ят но сти или диф фе -
рен ци аль ной функ ци ей рас пре де ле ния.
Кри вая, изо бра жаю щая плот ность рас пре де ле ния слу чай ной пе -
ре мен ной на зы ва ет ся кри вой рас пре де ле ния (ри су нок 4.5). Дру ги ми
сло ва ми, кри вой рас пре де ле ния не пре рыв ной слу чай ной ве ли чи ны на -
зы ва ют график ее плотности вероятности.
Тео ре ма 7. Ве ро ят ность то го, что не пре рыв ная слу чай ная ве ли чи -
на x при мет ка кое-ни будь зна че ние в ин тер ва ле (a, b), рав на оп ре де лен -
но му ин те гра лу от ее плот но сти ве ро ят но сти в пре де лах от a до b (ри су -
нок 4.5):
P a x b f x dx F x
b
a
( ) ( ) ( )< < = =
ò
.
Оче вид но, что
f x dx( ) =
-¥
¥
ò
1
— это пол ная ве ро ят ность.
Оп ре де лим ма те ма ти че ское ожи да ние и дис пер сию не пре рыв ной
слу чай ной величины.
Оп ре де ле ние 5. Ма те ма ти че ским ожи да ни ем E(x) не пре рыв ной
слу чай ной ве ли чи ны x, плот но стью ве ро ят но сти ко то рой яв ля ет ся
функ ция f(x), на зы ва ет ся ве ли чи на ин те гра ла
E x x f x dx( ) ( )= ×
-¥
¥
ò
, ес ли он
схо дит ся аб со лют но.
33
Рис. 4.5. Кри вая рас пре де ле ния не пре рыв ной слу чай ной величины
                  F ( x + Dx ) - F ( x )
       Отношение                          характеризует плотность, с которой
                          Dx
распределяются случайные значения в данной точке.
                                      F ( x + Dx ) - F ( x )
      В пределе при Dx ® 0 lim                               = F ¢( x ) = f ( x ) называет-
                               D x ®0         Dx
ся плотностью распределения или плотностью вероятности или диффе-
ренциальной функцией распределения.
      Кривая, изображающая плотность распределения случайной пе-
ременной называется кривой распределения (рисунок 4.5). Другими
словами, кривой распределения непрерывной случайной величины на-
зывают график ее плотности вероятности.




           Рис. 4.5. Кривая распределения непрерывной случайной величины
      Теорема 7. Вероятность того, что непрерывная случайная величи-
на x примет какое-нибудь значение в интервале (a, b), равна определен-
ному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от a до b (рису-
нок 4.5):
                                             a
                            P (a < x < b) = ò f ( x )dx = F ( x ).
                                             b

                          ¥
       Очевидно, что      ò f ( x)dx = 1 — это полная вероятность.
                          -¥

     Определим математическое ожидание и дисперсию непрерывной
случайной величины.

     Определение 5. Математическим ожиданием E(x) непрерывной
случайной величины x, плотностью вероятности которой является
                                                                     ¥
функция f(x), называется величина интеграла E ( x ) =                ò x × f ( x)dx, если он
                                                                     -¥

сходится абсолютно.
                                                                                         33

Страницы