Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

в) Би но ми наль ное рас пре де ле ние (фор му ла Бер нул ли):
( )
P C p q
n
m n m
p q
mn n
m m n m m n m
=
× -
× ×
- -
!
! !
Дан ное рас пре де ле ние по ка зы ва ет, что при по втор ных не за ви си -
мых ис пы та ни ях, в ка ж дом из ко то рых мо жет осу ще ст вить ся не ко то рое
со бы тие с од ной и той же ве ро ят но стью, ве ро ят ность лю бо го чис ла его
по яв ле ний со от вет ст ву ет чле нам раз ло же ния би но ма Нью то на в сте пе -
ни рав ной чис лу ис пы та ний.
При мер: мо не та под бра сы ва ет ся 10 раз. Ка ко ва ве ро ят ность то го,
что герб вы па дет 3 раза?
Ре ше ние:
p q= =
1
2
,
P C
10
3
10
3 3 7
0 5 0 5
15
128
= × × =( , ) ( , )
.
При
n ® ¥
,
p ® 0
би но ми аль ное рас пре де ле ние пре вра ща ет ся
в рас пре де ле ние Пу ас со на (пре дель ный слу чай фор му лы Бер нул ли):
W m
np
m
e
m
np
( )
( )
!
= ×
-
.
При мер: В кол лек ти ве чис лен но стью 500 че ло век, m лиц ро ди лись
6 ян ва ря. По стро ить рас пре де ле ние этих лиц от 1 до 6.
Ре ше ние: n = 500; p = 1/365; np = 1,37.
m W(m) p
m,500
0 0,2541 0,2537
1 0,3484 0,3484
2 0,2385 0,2388
3 0,0372 0,1089
4 0,0103 0,0372
5 0,0102 0,0101
6 0,0023 0,0023
35
     в) Биноминальное распределение (формула Бернулли):

                                                    n!
                    Pmn = C nm p m q n - m                    × p m ×q n -m
                                             m !× ( n - m ) !

      Данное распределение показывает, что при повторных независи-
мых испытаниях, в каждом из которых может осуществиться некоторое
событие с одной и той же вероятностью, вероятность любого числа его
появлений соответствует членам разложения бинома Ньютона в степе-
ни равной числу испытаний.

      Пример: монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того,
что герб выпадет 3 раза?

                     1                                    15
     Решение: p = q = , P103 = C103 × (0,5) 3 × (0,5) 7 =     .
                     2                                    128

      При n ® ¥, p ® 0 биномиальное распределение превращается
в распределение Пуассона (предельный случай формулы Бернулли):

                                             (np) m - np
                                W (m) =            ×e .
                                               m!

      Пример: В коллективе численностью 500 человек, m лиц родились
6 января. Построить распределение этих лиц от 1 до 6.
      Решение: n = 500; p = 1/365; np = 1,37.

           m                                 W(m)                             pm,500
           0                             0,2541                               0,2537
            1                            0,3484                               0,3484
           2                             0,2385                               0,2388
           3                             0,0372                               0,1089
           4                             0,0103                               0,0372
           5                             0,0102                               0,0101
           6                             0,0023                               0,0023

                                                                                       35

Страницы