Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Оп ре де ле ние 6. Дис пер си ей не пре рыв ной слу чай ной ве ли чи ны
на зы ва ет ся ве ли чи на ин те гра ла
s
2 2
( ) ( ) ( )x x a f x dx= - ×
-¥
¥
ò
, ес ли он так же
схо дит ся (a = E(x)).
Свой ст ва ма те ма ти че ских ожи да ний и дис пер сий для не пре рыв -
ных слу чай ных ве ли чин ос та ют ся те же, что и для дискретных.
3)Рас смот рим не ко то рые ти пы рас пре де ле ний.
а) Рав но мер ное (пря мо уголь ное) рас пре де ле ние:
Плот ность ве ро ят но сти :
f x
x x
x
( )
, ;
,
=
< >
< <
ì
í
î
0 0 1
1 0 1
если
если
Функ ция рас пре де ле ния :
F x
x
x x
x
( )
,
,
,
=
<
< <
>
ì
í
ï
î
ï
0 0
0 1
1 1
если
если
если
Дан ное рас пре де ле ние по зво ля ет вы чис лить в яв ном ви де ма те ма -
ти че ское ожи да ние и дисперсию:
Ма те ма ти че ское ожи да ние:
x x p x dx x dx= × = × =
-¥
¥
ò ò
( )
0
1
1
2
Дис пер сия:
s
2 2
2
0
1
1
2
1
12
= - = -
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
-¥
¥
ò ò
( ) ( )x x p x dx x dx
б) Экс по нен ци аль ное (по ка за тель ное) рас пре де ле ние :
Плот ность ве ро ят но сти:
f x
x x
x
( )
exp( ),
,
=
× - >
<
ì
í
î
l l если
если
0
0 0
Функ ция рас пре де ле ния:
F x
x x
x
( )
exp( ),
,
=
- - >
<
ì
í
î
1 0
0 0
l если
если
Экс по нен ци аль ный за кон рас пре де ле ния (и толь ко он) об ла да ет
важ ным свой ст вом то го, что ве ро ят ность без от каз ной ра бо ты (на при -
мер, при бо ра) в дан ном ин тер ва ле вре ме ни не за ви сит от вре ме ни пред -
ше ст вую щей ра бо ты, а за ви сит только от длины данного интервала
времени.
34
      Определение 6. Дисперсией непрерывной случайной величины
                                                ¥
называется величина интеграла s 2 ( x ) = ò ( x - a) 2 × f ( x )dx , если он также
                                                -¥

сходится (a = E(x)).
     Свойства математических ожиданий и дисперсий для непрерыв-
ных случайных величин остаются те же, что и для дискретных.

      3)Рассмотрим некоторые типы распределений.
      а) Равномерное (прямоугольное) распределение:
                                        ì0, если x < 0; x > 1
      Плотность вероятности : f ( x ) = í
                                        î1, если 0 < x < 1
                                        ì0, если x < 0
                                        ï
      Функция распределения : F ( x ) = í x , если 0 < x < 1
                                        ï1, если x > 1
                                        î
     Данное распределение позволяет вычислить в явном виде матема-
тическое ожидание и дисперсию:
                                           ¥                1
                                                                       1
      Математическое ожидание: x =         ò x × p( x)dx = ò x ×dx =
                                           -¥               0
                                                                       2
                          ¥                     1       2
                                                  æ    1ö       1
      Дисперсия: s 2 = ò ( x - x ) 2 p( x )dx = ò ç x - ÷ dx =
                       -¥                       0è
                                                       2ø      12

      б) Экспоненциальное (показательное) распределение :
                                       ìl × exp(-lx ), если x > 0
      Плотность вероятности: f ( x ) = í
                                       î0, если x < 0
                                       ì1 - exp(-lx ), если x > 0
      Функция распределения: F ( x ) = í
                                       î0, если x < 0
      Экспоненциальный закон распределения (и только он) обладает
важным свойством того, что вероятность безотказной работы (напри-
мер, прибора) в данном интервале времени не зависит от времени пред-
шествующей работы, а зависит только от длины данного интервала
времени.
34

Страницы