Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Эти рас пре де ле ния при ус ло вии Е ? кТ пе ре хо дят в клас си че ское
рас пре де ле ние Больц ма на :
n n e
E kT
=
-
0
.
д) Осо бое зна че ние име ет так на зы вае мое нор маль ное рас пре де -
ле ние слу чай ной ве ли чи ны (рас пре де ле ние Гаусса):
плот ность нор маль но го рас пре де ле ния (см. ри су нок 4.8):
f x
b
x a b
n
( ) exp[ ( ) ]=
×
× - -
1
2
2
2 2
p
(4.2.8)
ин те граль ная функ ция нор маль но го рас пре де ле ния (см. ри су -
нок 4.9):
F x
b
x a b dx( ) exp[ ( ) ]=
×
× - -
-¥
¥
ò
1
2
2
2 2
p
(4.2.9)
Свой ст ва нор маль но го рас пре де ле ния
Тео ре ма 8. Па ра мет ры a и b в вы ра же ни ях плот но сти ве ро ят но сти
и функ ции рас пре де ле ния слу чай ной ве ли чи ны, рас пре де лен ной по
нор маль но му за ко ну яв ля ют ся ее ма те ма ти че ским ожи да ни ем и дис пер -
си ей.
До ка за тель ст во:
а) Ма те ма ти че ское ожи да ние:
E x x f x dx( ) ( )= ×
-¥
¥
ò
; где
f x
b
x a
b
( ) exp
( )
=
×
×
- -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
1
2
2
2
2
p
.
37
Рис. 4.8
Рис. 4.9
     Эти распределения при условии Е ? кТ переходят в классическое
распределение Больцмана :
                                          n = n0 e -E     kT
                                                               .

     д) Особое значение имеет так называемое нормальное распреде-
ление случайной величины (распределение Гаусса):
     плотность нормального распределения (см. рисунок 4.8):
                       1
     f n ( x) =             × exp[-( x - a) 2 2 b 2 ]                                 (4.2.8)
                  b× 2p

      интегральная функция нормального распределения (см. рису-
нок 4.9):
                             ¥
                       1
     F ( x) =               × ò exp[-( x - a) 2 2 b 2 ]dx                             (4.2.9)
                  b× 2p      -¥




                       Рис. 4.8                                            Рис. 4.9



     Свойства нормального распределения
      Теорема 8. Параметры a и b в выражениях плотности вероятности
и функции распределения случайной величины, распределенной по
нормальному закону являются ее математическим ожиданием и диспер-
сией.
      Доказательство:
      а) Математическое ожидание:
                  ¥
                                                     1           æ -( x - a) 2   ö
     E ( x) =     ò x × f ( x)dx; где f ( x) = b ×
                  -¥                                    2p
                                                           × expçç
                                                                 è 2b
                                                                         2
                                                                                 ÷.
                                                                                 ÷
                                                                                 ø
                                                                                          37

Страницы