Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Тео ре ма 9. Слу чай ные ве ли чи ны, рас пре де лен ные по нор маль но -
му за ко ну, раз ли ча ют ся толь ко зна че ния ми ма те ма ти че ско го ожи да ния
и дис пер сии.
До ка за тель ст во:
а) Пусть у двух рас пре де ле ний дис пер сия s
2
— оди на ко ва, но раз -
ные ма те ма ти че ские ожидания:
E = 0
;
f x
x
1
2
2
1
2
2
( ) exp= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
s p
s
;
E ¹ 0
;
f x
x E
2
2
2
1
2
2
( ) exp= -
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
s p
s
.
Ес ли вве сти но вую пе ре мен ную x
1
= (x – E) , то гда
f x
x
2
1
2
2
1
2
2
( ) exp= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
s p
s
, то есть кри вые для
f x
1
( )
и
f x
2
( )
сов па дут.
Сле до ва тель но, E — это па рал лель ный пе ре нос (ри су нок 4.10):
б) Пусть у трех рас пре де ле ний оди на ко вые ма те ма ти че ские ожи -
да ния E (E = 0), но дис пер сии раз ные: s
1
= 1/2; s
2
= 1; s
3
= 2.
(см. рис. 4.11):
39
Рис. 4.10
Рис. 4.11
      Теорема 9. Случайные величины, распределенные по нормально-
му закону, различаются только значениями математического ожидания
и дисперсии.
      Доказательство:
      а) Пусть у двух распределений дисперсия s2 — одинакова, но раз-
ные математические ожидания:
                           1      æ x2      ö
     E = 0; f1 ( x ) =        expçç - 2     ÷;
                                            ÷
                         s 2p     è 2s      ø
                            1      æ x2 -E       ö
     E ¹ 0 ; f 2 ( x) =        expçç -   2
                                                 ÷.
                                                 ÷
                          s 2p     è 2s          ø
     Если ввести новую переменную x1 = (x – E) , тогда
                     1     æ x2      ö
      f 2 ( x) =        expç - 1 2   ÷, то есть кривые для f1 ( x ) и f 2 ( x )совпадут.
                   s 2p    ç 2s      ÷
                           è         ø
     Следовательно, E — это параллельный перенос (рисунок 4.10):




                                        Рис. 4.10

      б) Пусть у трех распределений одинаковые математические ожи-
дания E (E = 0), но дисперсии разные: s1 = 1/2; s2 = 1; s3 = 2.
(см. рис. 4.11):




                                        Рис. 4.11

                                                                                     39

Страницы