Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

F
x
k
x
t
i
i
k
=
×
=
å
0
2
1
1
, (4.2.13)
со от вет ст вую щая плот ность ве ро ят но сти:
f
k
k
k
x
k
t
k
=
×
×
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
+
1
1
2
2
1
2
1
2
p
G
G
(4.2.14)
з) Ана ли зи руя по ве де ние от но ше ния вы бо роч ных дис пер сий двух
вы бо рок из вле чен ных из од ной и той же нор маль ной ге не раль ной со во -
куп но сти, анг лий ский ста ти стик Р.Фи шер (1924 г.) на шел, так на зы вае -
мое, «F-рас пре де ле ние»:
плот ность рас пре де ле ния:
f
k k
k k
k
k
F
k
k
=
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
× ×
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
×
æ
è
ç
G
G G
1
2
1
2
2
2
1 2
2
2 2
1 2
( )
ç
ö
ø
÷
÷
×
+
-
+
x
k x k
k
k k
1
1
2
2
1
1
2
2
(4.2.15).
4) Ме тод мо мен тов
Ос нов ные па ра мет ры кри вых рас пре де ле ния мож но ха рак те ри зо -
вать с по мо щью так на зы вае мых мо мен тов.
а) Пусть име ет ся слу чай ная ве ли чи на Х. Мо мен том k-го по ряд ка
M
k
(a) по от но ше нию к зна че нию а на зы ва ет ся ма те ма ти че ское ожи да -
ние k-ой сте пе ни от кло не ния X от a: M
k
(a) = M (X – a)
k
.
Ес ли a = 0, мо мент на зы ва ет ся на чаль ным (n
k
), при a = M(x) его на -
зы ва ют цен траль ным (m
k
). Та ким образом:
n
k
= M
k
(0) = M(x
k
);
m
k
= M
k
(M(x)) = M(X – M(x))
k
.
Цен траль ные мо мен ты слу чай ной ве ли чи ны X мож но вы ра зить
че рез на чаль ные мо мен ты этой величины:
41
                 x0
     Ft =                 ,                                           (4.2.13)
              1 k 2
               ×å xi
              k i =1
соответствующая плотность вероятности:
                  æ k +1 ö             k +1
                 Gç      ÷           -
           1      è  2 øæ x 2 ö 2
      ft =     ×           ç1 +
                           ç
                                   ÷                                  (4.2.14)
           p× k Gæ k ö è        k ÷ø
                    ç ÷
                    è2 ø

      з) Анализируя поведение отношения выборочных дисперсий двух
выборок извлеченных из одной и той же нормальной генеральной сово-
купности, английский статистик Р.Фишер (1924 г.) нашел, так называе-
мое, «F-распределение»:
      плотность распределения:
                                k     k
             æ k + k2 ö 21           2

           Gçç 1       ÷÷ × k1 × k2 2             k1
                                                     -1
             è    2 ø                           x2
      fF =                             ×                k1 + k2
                                                                      (4.2.15).
                æ k1 ö æ k2 ö
                ç    ÷
               Gç ÷ × Gçç       ÷÷       ( k1 x + k2 ) 2
                è 2 ø è 2 ø

      4) Метод моментов
      Основные параметры кривых распределения можно характеризо-
вать с помощью так называемых моментов.

      а) Пусть имеется случайная величина Х. Моментом k-го порядка
Mk(a) по отношению к значению а называется математическое ожида-
ние k-ой степени отклонения X от a: Mk(a) = M (X – a)k.
      Если a = 0, момент называется начальным (nk), при a = M(x) его на-
зывают центральным (mk). Таким образом:

                                    nk = Mk(0) = M(xk);
                                                                  k
                              m k = Mk(M(x)) = M(X – M(x)) .

      Центральные моменты случайной величины X можно выразить
через начальные моменты этой величины:
                                                                            41

Страницы