Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f x
1
2
1
2
2= -
p
exp( )
;
f
x
2
2
1
2
2
= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
p
exp
;
f
x
3
2
1
2 2
8
= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
p
exp
.
Не труд но ви деть, что дис пер сия слу жит ме рой рас сея ния слу чай -
ной ве ли чи ны.
е) В ма те ма ти че ской ста ти сти ке час то ис поль зу ют за ко ны рас -
пре де ле ния слу чай ных ве ли чин, яв ляю щих ся функ ция ми не за ви си -
мых нор маль ных слу чай ных ве ли чин. Впер вые ас тро ном Ф.Хель мерт
(1876 г.) ис сле до вал сум мы квад ра тов нор маль но рас пре де лен ных слу -
чай ных ве ли чин и по лу чил рас пре де ле ние, ко то рое поз же (1900 г.)
К.Пир сон на звал функ ци ей рас пре де ле ния «хи квад рат» (
c
2
):
F
k
t
t
dt
k
k
k
x
c
2
1
2
2
2
2
2
1
0
( )
exp=
×
æ
è
ç
ö
ø
÷
× × -
æ
è
ç
ö
ø
÷
-
ò
G
; (4.2.10)
со от вет ст вую щая плот ность ве ро ят но сти:
f x
k
x
x
k
k
c
2
1
2
2
2
2
2
1
( ) exp=
×
æ
è
ç
ö
ø
÷
× × -
æ
è
ç
ö
ø
÷
-
G
, (4.2.11)
где Г(m) — гам ма-функ ция Эй ле ра:
G( ) exp( )m x x dx
m
= × -
-
¥
ò
1
0
, (4.2.12)
k — на зы ва ет ся чис лом сте пе ней сво бо ды не за ви си мых нор маль ных
слу чай ных ве ли чин
x x x
k
1
2
, ,...
.
Рас пре де ле ние
c
2
ищет ся для слу чай ных ве ли чин
x x x x
k k
2
1
2
2
2 2
= + + +K
.
Оно та бу ли ро ва но (пред став ле но в ви де таб лиц).
Сред нее:
E k
c
2
=
, дис пер сия:
s
2
2= k
.
ж) Анг лий ский ста ти стик В.Гос сет (пи сав ший под псев до ни мом
«Стью дент») по лу чил в 1908 г. для слу чай ных нор маль но рас пре де лен -
ных ве ли чин, так на зы вае мое, «t-рас пре де ле ние»:
40
             1                              1      æ x2       ö          1     æ x2   ö
     f1 =            exp(-2 x 2 ); f 2 =       expçç -        ÷; f 3 =
                                                              ÷             expç-
                                                                               ç 8
                                                                                      ÷.
                                                                                      ÷
             2p                             2p     è 2        ø        2 2p    è      ø

      Нетрудно видеть, что дисперсия служит мерой рассеяния случай-
ной величины.

      е) В математической статистике часто используют законы рас-
пределения случайных величин, являющихся функциями независи-
мых нормальных случайных величин. Впервые астроном Ф.Хельмерт
(1876 г.) исследовал суммы квадратов нормально распределенных слу-
чайных величин и получил распределение, которое позже (1900 г.)
К.Пирсон назвал функцией распределения «хи квадрат» (c 2 ):
                                 x   k
                         1              -1    æ t ö
     F c2 ( k ) =      k
                                 × ò t 2 × expç - ÷dt ;                               (4.2.10)
                            ækö               è 2ø
                     2 2 × Gç ÷ 0
                            è2 ø
соответствующая плотность вероятности:
                                     k
                          1           -1    æ xö
      f c2 ( x ) =     k
                                 × x 2 × expç - ÷,                                    (4.2.11)
                            ækö             è 2ø
                     2 2 × Gç ÷
                            è2 ø
где Г(m) — гамма-функция Эйлера:
                 ¥
     G(m) = ò x m -1 × exp(- x )dx ,                                                  (4.2.12)
                 0

k — называется числом степеней свободы независимых нормальных
случайных величин x 1 , x 2 , ... x k .
     Распределение c 2 ищется для случайных величин

                                     x k2 = x 12 + x 22 +K+ x k2 .

     Оно табулировано (представлено в виде таблиц).
     Среднее: E c2 = k, дисперсия: s 2 = 2 k.

     ж) Английский статистик В.Госсет (писавший под псевдонимом
«Стьюдент») получил в 1908 г. для случайных нормально распределен-
ных величин, так называемое, «t-распределение»:
40

Страницы