Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

m
k
= M(X – M(x))
k
= M (
n
k
=
å
0
C
k
n
(–1)
n
X
k-n
(M(x))
k
) =
=
n
k
=
å
0
(–1)
n
C
k
n
n
1
n
M(x
k-n
) =
n
k
=
å
0
(–1)
n
C
k
n
n
1
n
n
k-n
.
От сю да:
m
2
= n
2
– 2n
1
n
1
+ n
1
2
= n
2
– n
1
2
,
m
3
= n
3
– 3n
1
n
2
+ 3n
1
2
n
1
– n
1
3
= n
3
– 3n
2
n
1
+ 2n
1
2
,
m
4
= n
4
– 4n
1
n
3
+ 6n
1
2
n
2
– 3n
1
4
.
б) На чаль ный мо мент k-го по ряд ка
n
k
k
x f x dx=
-¥
¥
ò
( )
.
Цен траль ный мо мент k-го по ряд ка
m
k
k k
x a f x dx E x a= - = -
-¥
¥
ò
( ) ( ) ( )
.
Мо мен ты ну ле во го по ряд ка: k = 0:
n
0
0
1= = =
-¥
¥
-¥
¥
òò
x f x dx f x dx( ) ( )
,
m
0
0
1= - = =
-¥
¥
-¥
¥
òò
( ) ( ) ( )x a f x dx f x dx
.
Мо мен ты 1-го по ряд ка: k = 1:
n
1
= =
-¥
¥
ò
x f x dx E x( ) ( )
— ма те ма ти че ское ожи да ние;
m
1
0= - =
-¥
¥
ò
( ) ( )x a f x dx
— след ст вие 5-го свой ст ва ма те ма ти че ско го
ожи да ния.
Цен траль ный мо мент 2-го по ряд ка:
m s
2
2 2 2
= - - =
-¥
¥
ò
( ) ( ) ( )x a f x dx E x a
— дис пер сия.
42
                                                    k
            mk = M(X – M(x))k = M (å Ckn (–1)n Xk-n (M(x))k) =
                                                   n =0
                   k                                             k
                            n        n     n      k-n                          n        n    n
                 = å (–1) Ck n1 M(x ) = å (–1) Ck n1 nk-n.
                  n =0                                       n =0


     Отсюда:

     m2 = n2 – 2n1n1 + n12 = n2 – n12,

     m3 = n3 – 3n1n2 + 3n12n1 – n13 = n3 – 3n2n1 + 2n12,

     m4 = n4 – 4n1n3 + 6n12n2 – 3n14.
                                                                          ¥
                                                                                   k
     б) Начальный момент k-го порядка n k =                               òx           f ( x )dx .
                                                                          -¥
                                                                          ¥
     Центральный момент k-го порядка m k = ò ( x - a) k f ( x )dx = E ( x - a) k .
                                                                          -¥

     Моменты нулевого порядка: k = 0:
                                     ¥                      ¥
                           n0 =      ò    x 0 f ( x )dx =   ò f ( x)dx = 1,
                                     -¥                     -¥


                                ¥                                    ¥
                                          0
                         m0 =   ò ( x - a) f ( x)dx =
                                -¥
                                                                     ò f ( x)dx = 1.
                                                                     -¥


     Моменты 1-го порядка: k = 1:
            ¥
     n1 =   ò x f ( x)dx = E ( x) — математическое ожидание;
            -¥

            ¥
     m 1 = ò ( x - a) f ( x )dx = 0 — следствие 5-го свойства математического
            -¥

ожидания.
     Центральный момент 2-го порядка:
             ¥
     m 2 = ò ( x - a) 2 f ( x )dx E ( x - a) 2 = s 2 — дисперсия.
            -¥


42

Страницы