ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
в) Вы чис лим цен траль ные мо мен ты слу чай ной ве ли чи ны, рас -
пре де лен ной по нор маль но му за ко ну:
m
s p
s
k
k
x a
x a
dx= - -
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-¥
¥
ò
1
2
2
2
2
( ) exp
( )
;
Сде ла ем за ме ну пе ре мен ной
t x a= -( ) s
,
x a t- = ×s
; (пре де лы ин -
тег ри ро ва ния не из ме ня ют ся) dx = s dt,
m
s
p
k
k
k
t
t
dt= × -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-¥
¥
ò
2
2
2
exp
.
Пусть k — не чет ные: k = 2×l + 1; до ка жем, что при этом все ин те -
гра лы рав ны нулю:
m
s
p
s
p
2 1
2 1
2 1
2
2 1
2
2
2
× +
+
+
-¥
¥
+
= × -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
ò
l
l
l
l
t
t
dtexp
× -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+ -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
+
-¥
+
¥
ò ò
t
t
dt t
t
l l2 1
0
2
2 1
0
2
2 2
exp exp
÷
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=dt
де ла ем за ме ну пе ре мен ной: z = t
2
= × × + ×
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
+
-
-¥
-
¥
ò ò
s
p
2 1
2
0
2
0
2
1
2
1
2
0
l
l z l z
z e dz z e dz
,
так как пе ре ста нов ка пре де лов да ет пе ред ин те гра лом знак «–».
Пусть k — чет ные; k = 2×l
m
s
p
s
p
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
l
l
l
l
l
t
t
dt t
t
= × -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
= × -
-¥
¥
ò
exp exp
2
0
2
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
¥
ò
dt
,
так как по дын те граль ная функ ция чет ная, ис поль зуя фор му лу Эй ле ра-
Пу ас со на, по лу чим:
m s
2
2
2 1
l
l
l= - ×( )!!
;
( )!! ( )2 1 1 3 5 2 1l l- = × × × × -K
.
В ча ст но сти: m
4
= 1×3×s
4
= 3s
4
.
г) Цен траль ный мо мент m
3
ха рак те ри зу ет от кло не ние рас пре де ле -
ния слу чай ной ве ли чи ны x от сим мет рич но го. За ме ру это го от кло не ния
бе рут от но ше ние m
3
к сред не му квад ра тич но му в ку бе (s
3
), ко то рое на -
зы ва ет ся ко эф фи ци ен том асим мет рии: a = m
3
/s
3
.
43
в) Вычислим центральные моменты случайной величины, рас-
пределенной по нормальному закону:
1
¥
k æ ( x - a) 2 ö
mk = ò ( x - a) expç- ÷dx ;
s 2 p -¥ ç 2s 2 ÷
è ø
Сделаем замену переменной t = ( x - a) s, x - a = s × t ; (пределы ин-
тегрирования не изменяются) dx = s dt,
¥
sk æ t2 ö
mk = × ò t k expçç - ÷dt .
÷
2 p -¥ è 2 ø
Пусть k — нечетные: k = 2×l + 1; докажем, что при этом все инте-
гралы равны нулю:
¥
s 2 l +1 æ t2 ö
m 2 ×l + 1 = × ò t 2 l + 1 expçç - ÷÷dt =
2 p -¥ è 2 ø
0 ¥
s 2 l + 1 æç 2 l + 1 æ t2 ö æ t2 ö ö
= × òt expçç - ÷÷dt + ò t 2 l + 1 expçç - ÷dt
÷
÷=
2 p çè -¥ è 2 ø 0 è 2 ø
÷
ø
делаем замену переменной: z = t2
0 ¥
s 2 l + 1 æç 1 l - z 2 1 l - z 2 ö÷
= × ò z × e dz + z × e dz = 0,
2 p çè 2 -¥ 2 ò0 ÷
ø
так как перестановка пределов дает перед интегралом знак «–».
Пусть k — четные; k = 2×l
¥ ¥
s 2l æ t2 ö 2s 2 l æ t2 ö
m 2l = × ò t 2 l expçç - ÷dt =
÷ × ò t 2l
expç-
ç 2
÷dt,
÷
2 p -¥ è 2 ø 2p 0 è ø
так как подынтегральная функция четная, используя формулу Эйлера-
Пуассона, получим:
m 2 l = (2l -1)!! × s 2 l ; (2l -1)!! = 1× 3 × 5 × K × (2l -1).
В частности: m4 = 1×3×s4 = 3s4 .
г) Центральный момент m3 характеризует отклонение распределе-
ния случайной величины x от симметричного. За меру этого отклонения
берут отношение m3 к среднему квадратичному в кубе (s3), которое на-
зывается коэффициентом асимметрии: a = m3 /s3.
43
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
