Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Тео ре ти че ское объ яс не ние та ко го по ве де ния сред ней и яв ля ет ся
со дер жа ни ем за ко на боль ших чи сел. Об щая со вре мен ная по ста нов ка
за да чи, фор му ли ров ка за ко на боль ших чи сел, раз ви тие ме то дов ис сле -
до ва ния и до ка за тель ст ва тео рем, от но ся щих ся к это му за ко ну, при над -
ле жит русским ученым П.Л.Че бы ше ву, А.А.Маркову и А.М.Ляпунову.
При ве дем ос нов ные ре зуль та ты, по лу чен ные эти ми уче ны ми, не
ос та нав ли ва ясь на до ка за тель ст ве тео рем.
Лем ма Че бы ше ва. Ес ли сре ди зна че ний слу чай ной ве ли чи ны х нет
от ри ца тель ных, то ве ро ят ность то го, что она при мет ка кое-ни будь зна -
че ние, пре вос хо дя щее по ло жи тель ное чис ло А , бу дет не боль ше дро би,
чис ли тель ко то рой есть ее ма те ма ти че ское ожи да ние, а зна ме на тель —
чис ло А:
( )
P x A
E x
A
> £
( )
.
Слу чай ные ве ли чи ны мо гут иметь раз лич ные рас пре де ле ния при
оди на ко вых ма те ма ти че ских ожи да ни ях. Од на ко лем ма Че бы ше ва для
них даст оди на ко вую оцен ку ве ро ят но сти то го или ино го ре зуль та та ис -
пы та ния. Этот не дос та ток лем мы свя зан с ее общ но стью: до бить ся луч -
шей оцен ки сра зу для всех слу чай ных ве ли чин не воз мож но.
Не ра вен ст во Че бы ше ва. Ве ро ят ность то го, что от кло не ние слу чай -
ной ве ли чи ны от ее ма те ма ти че ско го ожи да ния пре взой дет по аб со лют -
ной ве ли чи не по ло жи тель ное чис ло e , не боль ше дро би, чис ли тель ко -
то рой есть ее дис пер сия, а зна ме на тель — e
2
:
| |
( )
P x E- > £e
s
e
2
2
Не ра вен ст во Че бы ше ва да ет не три ви аль ную оцен ку ве ро ят но сти
со бы тия лишь в слу чае, ес ли дис пер сия слу чай ной ве ли чи ны дос та точ -
но ма ла: мень ше e
2
.
Обоб ще ни ем не ра вен ст ва Че бы ше ва яв ля ет ся тео ре ма Че бы ше ва,
вы ра жаю щая за кон боль ших чи сел.
Тео ре ма Че бы ше ва. Ес ли дис пер сии не за ви си мых слу чай ных ве -
ли чин
x x x
n
1
2
, ,...
ог ра ни че ны од ной и той же по сто ян ной ве ли чи ной,
и чис ло их дос та точ но ве ли ко, то как угод но близ ка к еди ни це ве ро ят -
45
      Теоретическое объяснение такого поведения средней и является
содержанием закона больших чисел. Общая современная постановка
задачи, формулировка закона больших чисел, развитие методов иссле-
дования и доказательства теорем, относящихся к этому закону, принад-
лежит русским ученым П.Л.Чебышеву, А.А.Маркову и А.М.Ляпунову.

     Приведем основные результаты, полученные этими учеными, не
останавливаясь на доказательстве теорем.

     Лемма Чебышева. Если среди значений случайной величины х нет
отрицательных, то вероятность того, что она примет какое-нибудь зна-
чение, превосходящее положительное число А , будет не больше дроби,
числитель которой есть ее математическое ожидание, а знаменатель —
число А:
                                           E ( x)
                            P( x > A ) £         .
                                             A
      Случайные величины могут иметь различные распределения при
одинаковых математических ожиданиях. Однако лемма Чебышева для
них даст одинаковую оценку вероятности того или иного результата ис-
пытания. Этот недостаток леммы связан с ее общностью: добиться луч-
шей оценки сразу для всех случайных величин невозможно.

      Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случай-
ной величины от ее математического ожидания превзойдет по абсолют-
ной величине положительное число e , не больше дроби, числитель ко-
торой есть ее дисперсия, а знаменатель — e2:
                                                 s2
                           P (| x - E| > e ) £
                                                 e2
     Неравенство Чебышева дает нетривиальную оценку вероятности
события лишь в случае, если дисперсия случайной величины достаточ-
но мала: меньше e2.

     Обобщением неравенства Чебышева является теорема Чебышева,
выражающая закон больших чисел.
     Теорема Чебышева. Если дисперсии независимых случайных ве-
личин x 1 , x 2 , ... x n ограничены одной и той же постоянной величиной,
и число их достаточно велико, то как угодно близка к единице вероят-
                                                                      45

Страницы