ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ность то го, что от кло не ние сред ней ариф ме ти че ской этих слу чай ных
ве ли чин от сред ней ариф ме ти че ской их ма те ма ти че ских ожи да ний не
пре взой дет по аб со лют ной ве ли чи не по ло жи тель но го чис ла e, как бы
ма ло оно не бы ло:
P
x x x
n
E E E
n
n n
1
2
1
2
1
+ + +
-
+ + +
½
½
½
½
½
½
£
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
> -
K K
e d
.
Ни од но из рас смот рен ных здесь ут вер жде ний не да ет точ но го, ни
да же при бли жен но го зна че ния ис ко мой ве ро ят но сти, а ука зы ва ет ся
лишь ниж няя или верх няя гра ни ца ее. При бли жен ное зна че ние ве ро ят -
но стей при боль ших зна че ни ях n мож но по лу чить толь ко с по мо щью
пре дель ных тео рем. С по мо щью та ких тео рем мож но до ка зать, что сум -
ма лю бо го ко неч но го чис ла не за ви си мых нор маль но рас пре де лен ных
слу чай ных ве ли чин так же рас пре де ле на по нор маль но му закону:
Тео ре ма Ля пу но ва. Ес ли не за ви си мые слу чай ные ве ли чи ны
x x x
n
1
2
, ,...
име ют ко неч ные ма те ма ти че ские ожи да ния и ко неч ные дис -
пер сии, и чис ло их дос та точ но ве ли ко, а пре дел
( )
lim
( ) ( ) ( )
n
n
n
®¥
+ + +
+ + +
=
m m m
s s s
3 3 3
1
2
2
2 2
3
2
1 2
0
K
K
где
m m m
3 3 3
1 2( ), ( ),. . . , ( )n
— цен траль ные мо мен ты третье го по ряд ка слу -
чай ных ве ли чин, то сум ма их с дос та точ ной сте пе нью точ но сти рас пре -
де ле на по нор маль но му за ко ну с па ра мет ра ми
E E E E
n
= + + +
1
2
K ;
s s s s
2
1
2
2
2 2
= + + +K
n
.
Та ким об ра зом, слу чай ная ве ли чи на, яв ляю щая ся сум мой дос та -
точ но боль шо го чис ла не за ви си мых сла гае мых, со глас но тео ре ме Ля пу -
но ва рас пре де ле на по нор маль но му за ко ну, ес ли дей ст вие ка ж до го сла -
гае мо го не ве ли ко по срав не нию с сум мар ным дей ст ви ем их всех.. Дан -
ный вы вод из вес тен как цен траль ная пре дель на тео ре ма. Впер вые эту
тео ре му до ка зал Мар ков (1898 г.), за тем — в бо лее об щей фор ме — Ля пу -
нов (1900).
Мно гие слу чай ные яв ле ния , встре чаю щие ся в при ро де и в об ще -
ст вен ной жиз ни, про те ка ют имен но по та кой схе ме. В свя зи с этим тео -
46
ность того, что отклонение средней арифметической этих случайных
величин от средней арифметической их математических ожиданий не
превзойдет по абсолютной величине положительного числа e, как бы
мало оно не было:
æ½x + x 2 +K + x n E 1 + E 2 +K + E n½ ö
P ç½ 1 - ½ £ e ÷ > 1 - d.
ç½ n n ½ ÷ø
è
Ни одно из рассмотренных здесь утверждений не дает точного, ни
даже приближенного значения искомой вероятности, а указывается
лишь нижняя или верхняя граница ее. Приближенное значение вероят-
ностей при больших значениях n можно получить только с помощью
предельных теорем. С помощью таких теорем можно доказать, что сум-
ма любого конечного числа независимых нормально распределенных
случайных величин также распределена по нормальному закону:
Теорема Ляпунова. Если независимые случайные величины
x 1 , x 2 , ... x n имеют конечные математические ожидания и конечные дис-
персии, и число их достаточно велико, а предел
m 3 (1) + m 3 (2) +K + m 3 (n)
lim 3
=0
n ®¥
(s 2
1
2
+ s +K + s
2
2
n ) 2
где m 3 (1), m 3 (2), ..., m 3 (n) — центральные моменты третьего порядка слу-
чайных величин, то сумма их с достаточной степенью точности распре-
делена по нормальному закону с параметрами
E = E 1 + E 2 +K+E n ;
s 2 = s 12 + s 22 + K + s 2n .
Таким образом, случайная величина, являющаяся суммой доста-
точно большого числа независимых слагаемых, согласно теореме Ляпу-
нова распределена по нормальному закону, если действие каждого сла-
гаемого невелико по сравнению с суммарным действием их всех.. Дан-
ный вывод известен как центральная предельна теорема. Впервые эту
теорему доказал Марков (1898 г.), затем — в более общей форме — Ляпу-
нов (1900).
Многие случайные явления , встречающиеся в природе и в обще-
ственной жизни, протекают именно по такой схеме. В связи с этим тео-
46
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- …
- следующая ›
- последняя »
