Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Та ким об ра зом:
E x
b
x
x a
b
dx( ) exp
( )
=
×
× ×
- -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
-¥
¥
ò
1
2
2
2
2
p
де ла ем за ме ну пе ре мен ной:
t x a b= -( )
;
x t b a= +
;
dx b dt=
, (пре де лы ин -
тег ри ро ва ния не из ме ня ют ся):
= + × -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
-¥
¥
ò
b
b
a bt
t
dt
a t
2
2
2
2
2 2
p p
( ) exp exp
÷
÷
+ × × -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-¥
¥
-¥
¥
òò
dt
b
t
t
dt
2
2
2
p
exp
.
Здесь пер вое сла гае мое:
exp -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
-¥
¥
ò
t
dt
2
2
2p
— ин те грал Эй ле ра-
Пу ас со на.
Вто рое сла гае мое:
t
t
dt
t
d
t
× -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
= - -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
æ
è
ç
ç
ö
-¥
¥
ò
exp exp
2 2 2
2 2 2
ø
÷
÷
= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
¥
-¥
=
-¥
¥
ò
exp
t
2
2
0
.
Та ким об ра зом:
E x
a
a( ) = =
2
2
p
p
.
б) Дис пер сия:
s
p
2
2
2
2
1
2
2
( ) ( ) exp
( )
x
b
x a
x a
b
dx= - -
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-¥
¥
ò
=
cделаем за ме ну пе ре мен ных:
t x a b= -( )
;
x a bt- =
;
dx b dt=
, (пре де лы ин -
тег ри ро ва ния не из ме ня ют ся):
= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
b
t
t
dt
b
t
t
dt
2
2
2 2
2
2
0
2
2
2
2
2
p p
exp exp
¥
-¥
¥
òò
(так как под ин те гра лом — чет ная функ ция).
t
t
dt
2
2
0
2
2
2
exp -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
¥
ò
p
— ин те грал Эй ле ра-Пу ас со на.
Та ким об ра зом:
s
p
p
2
2
2
2
2
2
2
( )x
b
b= × =
.
Что и тре бо ва лось до ка зать.
38
             Таким образом:

                                            1
                                                  ¥
                                                            æ -( x - a) 2     ö
                              E ( x) =          × ò x × expçç       2
                                                                              ÷dx =
                                                                              ÷
                                         b × 2 p -¥         è 2b              ø

делаем замену переменной: t = ( x - a) b; x = t b + a; dx = bdt , (пределы ин-
тегрирования не изменяются):
                 ¥                               ¥                                   ¥
         b                        æ t2 ö     a         æ t2               ö     b             æ t2   ö
=           ò (a + bt ) × expççè - 2   ÷dt =     ò  expç-                 ÷dt +    × ò t × expç-     ÷dt .
                                       ÷               ç 2                ÷                   ç 2    ÷
     b   2p      -¥                    ø     2 p -¥    è                  ø     2 p -¥        è      ø
                                                    ¥
                                                             æ t2 ö
             Здесь первое слагаемое:                ò expççè - 2  ÷dt = 2p — интеграл Эйлера-
                                                                  ÷
                                                 -¥               ø
Пуассона.
     Второе слагаемое:
                 ¥                        ¥
                           æ t2   ö            æ t2          ö æ t2      ö     æ t2    ö ¥
                 ò  t × expç-
                           ç 2
                                  ÷dt = - ò expç -
                                  ÷            ç 2
                                                             ÷dç -
                                                             ÷ ç 2
                                                                         ÷ =expç -
                                                                         ÷     ç 2     ÷ -¥ = 0.
                                                                                       ÷
                 -¥        è      ø       -¥   è             ø è         ø     è       ø

                                                a 2p
             Таким образом: E ( x ) =                    = a.
                                                 2p

                                                1æ ( x - a) 2 ö
                                                        ¥
                                                                   2
             б) Дисперсия: s 2 ( x ) =       expçç -ò ( x - a) ÷dx =
                          b       -¥             2p
                                                 è      2 b 2 ÷ø
cделаем замену переменных: t = ( x - a) b; x - a = bt ; dx = bdt , (пределы ин-
тегрирования не изменяются):
                                  ¥                               ¥
                             b2        2    æ t2        ö     2b2 2      æ t2         ö
                         =        ò  t   expç-
                                            ç 2
                                                        ÷dt =
                                                        ÷         ò t expç-
                                                                         ç 2
                                                                                      ÷dt
                                                                                      ÷
                              2 p -¥        è           ø      2p 0      è            ø

(так как под интегралом — четная функция).
             ¥
                  2    æ t2   ö     2p
             ò0 t   expç-
                       ç 2
                              ÷dt =
                              ÷        — интеграл Эйлера-Пуассона.
                       è      ø     2

                                                2b2          2p
             Таким образом: s 2 ( x ) =                  ×      = b2 .
                                     2p                      2
             Что и требовалось доказать.
38

Страницы