Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Со бы тия x яв ля ют ся не со вмес ти мы ми и един ст вен но воз мож ны -
ми, то есть об ра зу ют пол ную сис те му со бы тий, по это му сум ма ве ро ят но -
стей равна единице:
p
1
+ p
2
+ p
3
+ … + p
n
=
p
i
i
n
=
å
1
= 1.
Эле мен тар ные ве ро ят но сти p
i
или за да ют ся из вест ным за ко ном
рас пре де ле ния p(x), или вы чис ля ют ся по экс пе ри мен таль ным данным.
Вве дем по ня тие ма те ма ти че ско го ожи да ния.
Оп ре де ле ние 2. Ма те ма ти че ским ожи да ни ем слу чай ной ве ли чи ны
(дис крет ной) на зы ва ет ся чис ло, рав ное сум ме про из ве де ний всех ее
зна че ний на со от вет ст вую щие им ве ро ят но сти:
E(x) = x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ … + x
n
p
n
=
x p
i i
i
n
=
å
1
. (4.2.6)
Ма те ма ти че ское ожи да ние по ка зы ва ет, ка кое зна че ние слу чай -
ной вели чины сле ду ет ожи дать в среднем.
При мер. Да ны ре зуль та ты стрель бы двух стрел ков:
ре зуль тат 1-го стрел ка: ре зуль тат 2-го стрел ка:
число очков 3 4 5 число очков 1 2 3 4 5
вероятность 0,3 0,4 0,3 вероятность 0,1 0,1 0,1 0,2 0,5
Ма те ма ти че ское ожи да ние ре зуль та тов стрель бы (сред нее зна че -
ние):
E(x
I
) = 3×0,3 + 4×0,4 + 5×0,3 = 4,0;
E(x
II
) = 1×0,1 + 2×0,1 + 3×0,1 + 4×0,2 + 5×0,5 = 3,9.
Свой ст ва ма те ма ти че ско го ожи да ния:
а) ма те ма ти че ское ожи да ние по сто ян ной ве ли чи ны рав но этой
по сто ян ной: E(a ) = a;
б) по сто ян ный мно жи тель мож но вы но сить за сим вол ма те ма ти -
че ско го ожи да ния E(ax) = aE(x);
в) ма те ма ти че ское ожи да ние сум мы слу чай ных ве ли чин рав но
сум ме их ма те ма ти че ских ожиданий:
E(x ± y ± z ± … ± w) = E(x) ± E(y) ± … ± E(w);
29
      События x являются несовместимыми и единственно возможны-
ми, то есть образуют полную систему событий, поэтому сумма вероятно-
стей равна единице:
                                                        n
                         p1 + p2 + p3 + … + pn = å pi = 1.
                                                    i =1


     Элементарные вероятности pi или задаются известным законом
распределения p(x), или вычисляются по экспериментальным данным.
     Введем понятие математического ожидания.

     Определение 2. Математическим ожиданием случайной величины
(дискретной) называется число, равное сумме произведений всех ее
значений на соответствующие им вероятности:
                                             n
        E(x) = x1 p1 + x2 p2 + … + xn pn = å x i pi .                  (4.2.6)
                                            i =1

      Математическое ожидание показывает, какое значение случай-
ной величины следует ожидать в среднем.

        Пример. Даны результаты стрельбы двух стрелков:
   результат 1-го стрелка:                     результат 2-го стрелка:
 число очков    3     4    5            число очков     1    2    3    4 5
 вероятность 0,3 0,4 0,3                вероятность 0,1 0,1 0,1 0,2 0,5

        Математическое ожидание результатов стрельбы (среднее значе-
ние):
                        E(xI) = 3×0,3 + 4×0,4 + 5×0,3 = 4,0;

               E(xII) = 1×0,1 + 2×0,1 + 3×0,1 + 4×0,2 + 5×0,5 = 3,9.
     Свойства математического ожидания:
     а) математическое ожидание постоянной величины равно этой
постоянной: E(a) = a;
     б) постоянный множитель можно выносить за символ математи-
ческого ожидания E(ax) = aE(x);
     в) математическое ожидание суммы случайных величин равно
сумме их математических ожиданий:
                  E(x ± y ± z ± … ± w) = E(x) ± E(y) ± … ± E(w);
                                                                           29

Страницы