Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

5) Фор му ла Бай е са
По при ме ру из пре ды ду ще го раз де ла, по ста вим сле дую щие во про -
сы: на ка ком за во де из го тов ле на ку п лен ная лам поч ка; или, ка ко ва ве ро -
ят ность, что ку п лен ная лам поч ка (хо ро шая) из го тов ле на на I-м за во де:
P
F
(A
1
)?
Ве ро ят ность, что лам поч ка из го тов ле на на I-ом за во де и хорошая:
P(A
1
) ×
P
A
3
(F) = P(F) × P
F
(A
1
),
так как со бы тия оди на ко вы (тео ре ма 3), то есть
P A
P A P F
P F
F
A
( )
( ) ( )
( )
1
1
1
=
×
,
а P(F) вы ра зим по фор му ле пол ной ве ро ят но сти:
P A
P A P F
P A P F P A P F P A
F
A
A A
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1
2 3
1
1
2
=
×
× + × + ×
=
= × × + × + × =
P F
A
3
0 5 0 9 0 5 0 9 0 3 0 85 0 2 0 8 0 45 0 8
( )
, , ( , , , , , , ) , , 65 0 520= , .
Ве ро ят ность то го, что хо ро шая лам поч ка из го тов ле на на II заводе:
P A
P A P F
P A P F P A P F P A
F
A
A A
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2
1
2 3
2
1
2
=
×
× + × + ×
= =
P F
A
3
0 255 0 865 0 295
( )
, , , .
На треть ем за во де:
P A
P A P F
P A P F P A P F P A
F
A
A A
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
3
1
2 3
3
1
2
=
×
× + × + ×
= =
P F
A
3
016 0 865 0185
( )
, , , .
Те перь сфор му ли ру ем во про сы в са мом об щем виде:
Пусть: а) не ко то рое со бы тие F мо жет иметь ме сто толь ко при на -
сту п ле нии од но го из со бы тий A
1
, A
2
, …, A
n
, об ра зую щих пол ную сис те -
му. Ве ро ят но сти P(A
1
), P(A
2
), …, P(A
n
) — известны.
б) из вест ны так же ве ро ят но сти со бы тия F при ус ло вии на сту п ле -
ния ка ж до го из со бы тий A
1
, A
2
, …, A
n
. Они рав ны
P
A
1
(F),
P
A
2
(F), …,
P
A
n
(F).
Ка ко ва ве ро ят ность со бы тия A
i
, ес ли из вест но, что со бы тие F
наступило?
26
       5) Формула Байеса
       По примеру из предыдущего раздела, поставим следующие вопро-
сы: на каком заводе изготовлена купленная лампочка; или, какова веро-
ятность, что купленная лампочка (хорошая) изготовлена на I-м заводе:
PF (A1)?
       Вероятность, что лампочка изготовлена на I-ом заводе и хорошая:

                                 P(A1) × PA 3 (F) = P(F) × PF (A1),

так как события одинаковы (теорема 3), то есть
                                                    P ( A1 ) × PA 1 (F )
                                      PF ( A1 ) =                       ,
                                                          P (F )

а P(F) выразим по формуле полной вероятности:
                                               P ( A1 ) × PA 1 (F )
        PF ( A1 ) =                                                                          =
                        P ( A1 ) × PA 1 (F ) + P ( A2 ) × PA 2 (F ) + P ( A3 ) × PA 3 (F )
                    = 0,5 × 0,9 (0,5 × 0,9 + 0,3 × 0,85 + 0,2 × 0,8) = 0,45 0,865 = 0,520.

      Вероятность того, что хорошая лампочка изготовлена на II заводе:
                                    P ( A2 ) × PA 2 (F )
PF ( A1 ) =                                                                        = 0,255 0,865 = 0,295.
              P ( A1 ) × PA 1 (F ) + P ( A2 ) × PA 2 (F ) + P ( A3 ) × PA 3 (F )

      На третьем заводе:
                                      P ( A3 ) × PA 3 (F )
 PF ( A1 ) =                                                                        = 016
                                                                                       , 0,865 = 0185
                                                                                                  , .
               P ( A1 ) × PA 1 (F ) + P ( A2 ) × PA 2 (F ) + P ( A3 ) × PA 3 (F )

      Теперь сформулируем вопросы в самом общем виде:
      Пусть: а) некоторое событие F может иметь место только при на-
ступлении одного из событий A1, A2 , …, An, образующих полную систе-
му. Вероятности P(A1), P(A2), …, P(An) — известны.
      б) известны также вероятности события F при условии наступле-
ния каждого из событий A1, A2, …, An. Они равны PA 1 (F), PA 2 (F), …, PA n (F).
      Какова вероятность события Ai, если известно, что событие F
наступило?
26

Страницы