Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 46 стр.

(2.8) надо добавить слагаемое, учитывающее конкуренцию внутри вида за

продукты питания:

                         dx                              ⎫
                            = ε 1 x − γ xy − β 11 x 2 ⎪
                         dt                              ⎪                      (2.16)
                                                         ⎬
                         dy
                            = − ε 2 y + γ xy − β 22 y 2 ⎪⎪
                         dt                              ⎭

После линеаризации получаем уравнение:

                              dy    2β y + ω 2 x
                                 =−
                              dx         y

Делаем замену переменных: y = xz , и переменные разделяются:

                                  zdz           dx
                                            = −                                  (2.17)
                           z 2 + 2β z + ω 2      x

Для решения данного уравнения рассмотрим три случая:

     а) β 2 < ω 2 (малое затухание).

После интегрирования (2.17) и перехода к старым переменным находим:

                                                 β                 y + βx
           y 2 + 2 β xy + ω 2 x 2 = C1 exp(                arctg                ).
                                              ω −β
                                                2      2
                                                                   ω −β x
                                                                    2       2




Фазовый портрет в данном случае представляет собой логарифмические

спирали, скручивающиеся к точке равновесия (х=0; у=0), которая называется

устойчивым фокусом (рис. 2.5).




                                                                                          46