Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 86 стр.

С помощью подстановки Смолуховского

                                                   ⎧ a      a2 ⎫
                               f(x, t) = g(x, t)exp⎨-    x−    t⎬
                                                   ⎩  2D    4D  ⎭

уравнение (3.40) сводится к уравнению диффузии

                                               ∂g    ∂ 2g
                                                  =D
                                               ∂t    ∂x 2

с начальным условием:

                                                        ⎧a    a
                                                                2    ⎫
                            y t =t 0   = д(x − x 1 ) exp⎨ x +     t0 ⎬
                                                        ⎩ 2D  4D ⎭

и граничным условием:

                                              ∂g        a
                                                      +   g    =0               (3.41)
                                              ∂x x = 0 2D x =0



       Будем считать, что диффузия происходит на полуоси (0 ≤ x ≤ ∞ ) ,

тогда второе граничное условие не требуется.

Решение уравнения диффузии на полуоси имеет вид:

                                         ∞
                              g(e, t) = ∫ G T (e, z, t − t 0 )g(z, t 0 ) dz ,
                                          0

где G T (e, z, t − t 0 ) - функция Грина уравнения (3.40) с граничным условием

(3.41):

                               1
G T (x, z, t − t 0 ) =                      ×
                         2[πD(t − t0 )]
                                       1/ 2




                                                                                         86