Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

edteeKee
t
eb
t
′′
−
′
=
∫
→
),;()(
1
lim)(
2
0
.
Используя соотношение (3.38) и уравнение (3.39), можно записать
кинетическое уравнение для функции распределения:
e
Q
t
tef
∂
∂
∂
∂
−=
),(
,
где
Q − поток функции распределения.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−= ),()(
2
1
),()( tefeb
e
tefeaQ
∂
∂
e
e
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂ f
a
f
D
t
t)f(e,
2
2
(3.40)
Данное уравнение называется уравнением Фоккера
−Планка.
Нетрудно видеть, что это уравнение, кроме потока
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
x
fb
2
,
ответственного за диффузию, содержит поток
(af) - ответственный за перенос
вещества под действием направленной силы. В частности, уравнение (3.40)
хорошо описывает броуновское движение частиц в жидкости: их случайное
блуждание и медленное оседание на дно под действием силы тяжести.
Найдем решение уравнения (3.40) с начальным условием в виде -
функции Дирака и граничным условием, учитывающим, что в итоге все
частицы упадут на дно:
д
0=
=
∂
∂
−
=
⋅
0x
x
f
D
0x
fa
.
85
                                 1
                    b(e) = lim ∫ (e′ − e) 2 K (e; e′, t )de′ .
                            t →0 t


Используя соотношение (3.38) и уравнение (3.39), можно записать

кинетическое уравнение для функции распределения:

                               ∂ f (e, t )    ∂Q
                                           =−    ,
                                  ∂t          ∂e

где Q − поток функции распределения.

                                           ∂ ⎡1                        ⎤
                   Q = a (e) f (e, t ) −            b ( e ) f ( e, t )
                                           ∂ e ⎢⎣ 2                    ⎥⎦

                                               2
                             ∂f(e, t)        ∂ f           ∂f
                                        =D            −a                     (3.40)
                                ∂t                2        ∂e
                                             ∂e

     Данное уравнение называется уравнением Фоккера−Планка.

                                                                            ⎛ b ∂f ⎞
     Нетрудно видеть, что это уравнение, кроме потока ⎜ −                          ⎟,
                                                                            ⎝ 2 ∂x ⎠

ответственного за диффузию, содержит поток (af) - ответственный за перенос

вещества под действием направленной силы. В частности, уравнение (3.40)

хорошо описывает броуновское движение частиц в жидкости: их случайное

блуждание и медленное оседание на дно под действием силы тяжести.

     Найдем решение уравнения (3.40) с начальным условием в виде д -

функции Дирака и граничным условием, учитывающим, что в итоге все

частицы упадут на дно:

                                             ∂f
                         a⋅f            −D            =0.
                               x=0           ∂x x = 0


                                                                                      85

Страницы