Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Поэтому
4/
2
2
)(
μ
π
μ
−
= eJ .
Возвращаясь к прежним переменным, окончательно решение (3.36) примет
вид:
ξ
π
ξϕρ
ξ
de
ta
tx
ta
x
2
2
4
)(
2
1
)(),(
−
−
∞
∞−
∫
=
(3.37)
Если в качестве начального условия
)(
ξ
ϕ
выбрать
δ
-функцию Дирака
(точечный источник в точке
l
):
),()(
l
−
=
ξ
δ
ξ
ϕ
то интеграл (3.37) легко берется: .
∫
∞
∞−
=− )()()( lfdlf
ξξδξ
Получается в итоге функция
ta
lx
e
ta
tx
2
2
4
)(
2
1
),(
−
−
=
π
ρ
, которая называется
фундаментальным решением уравнения диффузии.
Не трудно видеть, что площадь под полученной кривой (колокол) не
изменяется:
1
1
2
1
2
2
2
4
)(
===
∫∫
∞
∞−
−
−−
∞
∞−
dzedxe
ta
S
z
ta
l
ππ
α
,
что и следовало ожидать из требования выполнения закона сохранения.
83
                   π
Поэтому J ( μ )=       e −μ
                              2
                                  /4
                                       .
                   2
Возвращаясь к прежним переменным, окончательно решение (3.36) примет

вид:

                                                                                   ( x −ξ ) 2
                                                 ∞
                                                                   1           −
                                  ρ ( x, t )= ∫ ϕ (ξ )                     e         4 a 2t
                                                                                                  dξ            (3.37)
                                                −∞               2a πt

Если в качестве начального условия ϕ (ξ ) выбрать δ -функцию Дирака

(точечный источник в точке l ):

                                               ϕ (ξ ) = δ (ξ −l ),
                                                    ∞
то интеграл (3.37) легко берется:                   ∫ f (ξ )δ (ξ − l )dξ = f (l ) .
                                                    −∞


                                                                                        ( x −l ) 2
                                                                       1            −
Получается в итоге функция ρ ( x, t )=                                         e         4 a 2t
                                                                                                     , которая называется
                                                                   2a πt

фундаментальным решением уравнения диффузии.

Не трудно видеть, что площадь под полученной кривой (колокол) не

изменяется:

                          ∞                         − (α −l )2             ∞
                                           1                           1      −z           2
                       S= ∫                     e      4 a 2t
                                                                 dx=       ∫ e dz=1,
                         −∞        2a πt                               π   −∞


что и следовало ожидать из требования выполнения закона сохранения.




                                                                                                                         83

Страницы