Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 82 стр.

точке ζ :

                             1 ∞     ∞
                ρ ( x, t )=     ∫ dλ ∫ ϕ (ζ )e cos λ (ζ − x)dζ =
                                              −a λ t               2 2


                            2π −∞ −∞
                  1∞ ∞
                = ∫ dλ ∫ ϕ (ζ )e −a λ t cos λ (ζ − x)dζ =
                                                    2 2


                 π      0   −∞


                 1∞                    ∞
                = ∫ ϕ (ζ )dζ ∫ e −a λ t cos λ (ζ − x)dλ
                                                    2 2
                                                                                                       (3.36)
                 π −∞                      0


Здесь мы изменили порядок интегрирования.

Вычислим внутренний интеграл в (3.36), сделав замену переменных:

                                                                        dz
                             aλ t = z; dλ =
                                                                       a t
                                                                               ζ −x
                             λ (ζ − x) = μz; μ =
                                                                               a t
            ∞
                                                           1       ∞
                                                                                             1
               −a λ t
                      cos λ (ζ − x)dλ =                                        cos μzdz =
                  2 2
                                                                         −z2
            ∫e                                                     ∫e                             J.
            0                                             a t      0                        a t

Продифференцируем J по μ:

                dJ     ∞
                   = − ∫ e − z zsin μzdz ;
                                   2


                dμ     0

                dJ    μ ∞ −z               μ
                   = − ∫ e cos μzdz = − J ;
                                           2


                dμ    20                   2
                dJ    μ dJ     μ              μ2
                   = − J;   = − dμ ; ln J = −    + C;
                dμ    2   J    2              4
                J ( μ ) = Ce − μ
                                       2
                                           /4
                                                .

                                                               ∞
                                                                                  π
                                 μ =0;C = J (0)= ∫ e− z dz=
                                                                         2
Чтобы найти С, положим                                                                .
                                                               0                  2



                                                                                                                82