Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Решение уравнения диффузии (3.29) с начальным условием (3.30) и
граничными условиями (3.31) будем искать методом разделения переменных
(метод Фурье). Пусть
)()(),(
t
T
x
X
t
x
⋅
=
ρ
(3.32)
подставив (3.32) в (3.29) и разделив на
XT
a
2
, получим:
2
2
1
λ
−=
′
′
=
′
⋅
X
X
T
T
a
т.е. переменные разделяются:
(3.33)
0
2
=+
′′
xX
λ
0
22
=+
TaT
λ
(3.34)
Таким образом, в уравнении (3.29) мы опять пришли к задаче
Штурма
−Лиувиля, имеющей нетривиальные решения:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= x
l
n
AX
nn
π
sin
с собственными значениями:
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
l
n
n
π
λ
Уравнение (3.34) легко интегрируется:
∫∫
+−=−=−= Cdta
T
dT
dta
T
dT
Ta
dt
dT
222222
;;
λλλ
;
ta
nn
n
eCTCtaT
22
;ln
22
λ
λ
−
=+−=
Окончательно, частные решения уравнения (3.29) имеют вид:
80
        Решение уравнения диффузии (3.29) с начальным условием (3.30) и

граничными условиями (3.31) будем искать методом разделения переменных

(метод Фурье). Пусть

                            ρ ( x, t )= X ( x)⋅T (t )                           (3.32)

                                              2
подставив (3.32) в (3.29) и разделив на a XT , получим:

                                 1 T ′ X ′′
                                  2
                                    ⋅ = =− λ2
                                 a T X
т.е. переменные разделяются:

                                      X ′′+λ2 x=0                               (3.33)

                                     T ′+a 2λ2T =0                               (3.34)

Таким    образом,   в   уравнении       (3.29)        мы   опять   пришли   к    задаче

Штурма−Лиувиля, имеющей нетривиальные решения:

                                            ⎛ πn ⎞
                                X n = An sin⎜ x ⎟
                                            ⎝ l ⎠

с собственными значениями:

                                                  2
                                        ⎛ πn ⎞
                                    λn =⎜ ⎟
                                        ⎝ l ⎠

Уравнение (3.34) легко интегрируется:

              dT             dT              dT
                 =− a 2 λ2T ; =− a 2 λ2 dt ;∫ =− ∫ a 2 λ2 dt +C ;
              dt             T               T

                        ln T =− a 2 λ2 t +C;Tn =C n e − a λ t
                                                           2 2
                                                             n




Окончательно, частные решения уравнения (3.29) имеют вид:


                                                                                         80

Страницы