Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 79 стр.

получим уравнение диффузии:

                                      ∂ρ   ∂ 2ρ
                                         =D 2 или ρ t = Dρ x x .          (3.29)
                                      ∂t   ∂x
Начальное условие:

                                      ρ   t =0   =ϕ ( x)                  (3.30)

Граничные условия:

                       ρ   x = x1   =ϕ1 ( ρ ); ρ    x = x2   =ϕ 2 ( ρ )    (3.31)

В двумерном случае уравнение диффузии имеет вид:

                               ∂ρ ⎛ ∂ 2 ρ ∂ 2 ρ ⎞
                                 = D⎜    +      ⎟
                               ∂t ⎜⎝ ∂x 2 ∂y 2 ⎟⎠

В трехмерном случае:

                        ∂ρ ⎛ ∂ 2 ρ ∂ 2 ρ ∂ 2 ρ ⎞
                          = D⎜    +     +      ⎟
                        ∂t ⎜⎝ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟⎠

с соответствующими начальными и граничными условиями.

Заметим, что если плотность вещества ρ не изменяется во времени

⎛ ∂p  ⎞
⎜ = 0 ⎟ , то из (3.29) получаем:
⎝ ∂t  ⎠

                              ∂ 2ρ
                                   =0 или ρ xx =0 .
                              ∂x 2
      Это уравнение Лапласа, описывающее стационарные процессы типа

электростатики. Естественно, здесь также надо задать соответствующие

граничные условия.
                                                                                    79