Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 77 стр.

                                u = A cos ωn (t +δ )

             ⎛ πn ⎞                              πna
где A=α n sin⎜    ⎟ x - амплитуда колебаний; ωn =    - частота колебаний;
             ⎝ l ⎠                                l

δ - фаза. Такие колебания струны называются стоячей волной.

Точки, в которых амплитуда А равна нулю:

   ⎛ πn ⎞                 l
sin⎜ x ⎟=0; откуда x0 == m , называются узлами - в этой точке струна
   ⎝ l ⎠                  n

                                       πn                        2m+1
неподвижна. Точки, в которых: sin           x=± 1, откуда x1 =        l , называются
                                        l                         2n

пучностями - здесь амплитуда колебаний                 максимальна. Частоты ωn

называются собственными частотами колебаний струны. Колебание с

                                                πa
самой низкой собственной частотой           ω1 =   называется основным тоном.
                                                 l
Более высокие тона (большие частоты) называются обертонами. Обертоны,

частоты которых являются кратными основной частоте, называются

гармониками:     ω1; ω2 =2ω1 , ω3 =3ω1 и т. д.

      Решение (3.26) складывается из отдельных гармоник, амплитуда

которых быстро убывает с увеличением номера гармоники. Тембр звука

определяется наличием различных гармоник. Если прижать струну точно в

середине, то есть в пучности основного тона, то основной тон исчезает,

также исчезнут все нечетные гармоники. Струна будет издавать звук с

удвоенной частотой - это вторая гармоника, или октава. Человек

воспринимает звук как приятный только с гармоническими обертонами.

                                                                                  77