Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 75 стр.

       Рассмотрим решения уравнения (3.24):

для λ ≤ 0 получаются тривиальные решения X =0 .

для λ > 0 решения имеют вид:

                    X n ( x )= D1 cos( λn x )+ D2 sin( λn x )

Подставляя первое граничное условие получим:

X (0) = 0, D1 =0.

Для второго граничного условия:

X (l ) = 0, D2 sin λl = 0 .

Так как D2 ≠0, то sin(   λl ) =0, значит λ =πn / l .

В результате находим собственные значения:

                                                 2
                                     ⎛ πn   ⎞
                                  λ =⎜⎜     ⎟⎟
                                     ⎝ l     ⎠

и собственные функции:

                                             ⎛ πn ⎞
                              X n ( x)=Dn sin⎜ x ⎟
                                             ⎝ l ⎠

Аналогично получаем решение уравнения (5.2.7):

                                  ⎛ πn ⎞        ⎛ πn ⎞
                    Tn (t )= A cos⎜ at ⎟+ Bn sin⎜ at ⎟
                              n
                                  ⎝ l  ⎠        ⎝ l ⎠

Таким образом, частные решения уравнения (5.2.1) имеют вид:

                              ⎡       ⎛ πn ⎞         ⎛ πn ⎞⎤ ⎛ πn ⎞
         u n ( x, t )= X ⋅T = ⎢ An cos⎜ at ⎟+ Bn sin ⎜ at ⎟⎥ sin ⎜ x ⎟
                              ⎣       ⎝ l  ⎠         ⎝ l  ⎠⎦ ⎝ l ⎠

Общее решение есть сумма частных:

                                                                         75