Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

это и есть уравнение колебаний струны.
Предположим, что внешняя сила равна нулю тогда уравнение
собственных колебаний струны:
P =0,
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
∂
∂
= ,
;
0
ρ
T
a=
(3.20)
или
xxtt
uau
2
=
.
Как известно, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное
множество решений, поэтому для определенности надо задать начальные и
граничные условия.
Начальные условия: их два, так как уравнение содержит вторую
производную по времени:
)();(
00
x
t
u
xu
tt
ψ
∂
∂
ϕ
==
==
. (3.21)
Граничные условия: их два, так как уравнение содержит вторую
производную по координате:
0;0
0
=
=
== lxx
uu
(3.22)
Итак, физическая модель перешла в математическую модель.
В двумерном случае (колебание мембраны):
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
2
2
2
2
2
2
2
y
u
x
u
a
t
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
.
В трехмерном случае (колебание жидкости или газа):
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
a
t
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
73
это и есть уравнение колебаний струны.

      Предположим, что внешняя сила равна нулю P = 0, тогда уравнение

собственных колебаний струны:

                        ∂ 2u 2 ∂u 2       T
                             =a      , a= 0 ;                        (3.20)
                        ∂t 2
                                ∂x 2
                                          ρ

или                            utt =a 2u xx .

      Как известно, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное

множество решений, поэтому для определенности надо задать начальные и

граничные условия.

      Начальные условия: их два, так как уравнение содержит вторую

производную по времени:

                                            ∂u
                        u t =0 =ϕ ( x );          t =0   =ψ ( x) .   (3.21)
                                            ∂t
      Граничные условия: их два, так как уравнение содержит вторую

производную по координате:

                                u   x =0   =0;u   x =l   =0             (3.22)

Итак, физическая модель перешла в математическую модель.

В двумерном случае (колебание мембраны):

                            ∂ 2u 2 ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞
                                 =a ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ .
                            ∂t 2     ⎝ ∂x ∂y ⎠

В трехмерном случае (колебание жидкости или газа):

                          ∂ 2 u 2 ⎛ ∂ 2 u ∂ 2u ∂ 2u ⎞
                               =a ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟
                          ∂t 2     ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠

                                                                              73

Страницы