Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

сил натяжения отрезка [x
1
x
2
]
на ось ординат равна:
[]
,)(sin)(sin
120
xxTT
y
αα
−=
но,
,
1)(1
)(
)(sin
22
x
x
x
u
u
u
xtg
xtg
x ≅
+
=
+
=
α
α
α
следовательно:
.
2
1
12
2
2
00
dx
dx
ud
T
dx
du
dx
du
TT
x
x
xxxx
y
∫
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
==
Проекция внешней силы на ось ординат равна:
Pxt(,)
∫
=
2
1
),(
x
x
y
dttxPP
Проекция силы инерции струны можно записать в виде закона
Ньютона:
,ma
F
−=
где плотность струны,
∫
−=
2
1
)(;
x
x
xdxm
ρρ
2
2
t
u
a
∂
∂
= - ускорение;
∫
−=
2
1
2
2
)(
x
x
dx
t
u
xF
∂
∂
ρ
Таким образом, по принципу Даламбера:
0),()(
2
1
2
2
2
2
0
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
∫
dxtxP
t
u
x
x
u
T
x
x
∂
∂
ρ
∂
∂
.
В силу произвольности точек и
x
1
x
2
, из равенства нулю интеграла
следует равенство нулю подынтегрального выражения:
),()(
2
2
0
2
2
txP
x
u
T
t
u
x +=
∂
∂
∂
∂
ρ
,
72
сил натяжения        отрезка [x1x2] на ось ординат равна:


                               Ty = T0 [ sin α ( x2 )−sin α ( x1 ) ],


                    tgα ( x)              ux
но, sin α ( x) =                    =                ≅ ux ,
                   1 + tg 2α ( x)        1 + u x2

                       ⎡⎛ du ⎞     ⎛ du ⎞ ⎤
                                                 x2
                                                    d 2u
следовательно: Ty = T0 ⎢⎜ ⎟      − ⎜ ⎟ ⎥ = T0 ∫ 2 dx.
                       ⎣⎝ ⎠ x= x2 ⎝ dx ⎠ x= x1 ⎦
                          dx                     x1 dx



Проекция внешней силы P( x, t ) на ось ординат равна:

                                                x2

                                          Py = ∫ P( x, t )dt
                                                x1



      Проекция силы инерции струны можно записать в виде закона

Ньютона: F = − ma,

         x2
                                         ∂ 2u
где m= ∫ ρdx;ρ ( x)− плотность струны, a= 2 - ускорение;
       x  1
                                         ∂t

                                               x2
                                                     ∂ 2u
                                        F =− ∫ ρ ( x) 2 dx
                                             x  1
                                                     ∂t

Таким образом, по принципу Даламбера:

                          x2
                             ⎡ ∂ 2u          ∂ 2u             ⎤
                          ∫x ⎢T0 ∂x 2 −ρ ( x) ∂t 2 + P( x, t )⎥dx=0 .
                            1⎣                                ⎦

        В силу произвольности точек x1 и x2, из равенства нулю интеграла

следует равенство нулю подынтегрального выражения:

                                        ∂ 2u  ∂u 2
                                  ρ ( x) 2 =T0 2 + P( x, t ) ,
                                        ∂t    ∂x
                                                                        72

Страницы