Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.3 Модель осциллятора [25]
Рассмотрим струну - тонкую натянутую нить, которая может
свободно изгибаться. Считаем, что сила натяжения струны Т достаточно
велика, чтобы пренебречь силой тяжести струны. Пусть в положении
равновесия струна направлена по оси абсцисс и закреплена в точках 0 и
l
.
−),(
t
xu
смещение струны в точке х в момент времени t.
Будем рассматривать малые смещения струны, когда можно
пренебречь выражениями и , как величинами второго порядка
малости.
22
)(,
x
uu
x
uu
В данном приближении удлинения струны при ее натяжении не
происходит. Действительно, длина дуги:
1,1
2
12
2
21
2
1
<<−≅+=
∫
x
x
x
x
uxxdxuMM
.
Также легко показать, что сила натяжения не зависит от координаты х.
Действительно, проекции сил натяжения на ось абсцисс в точках x
1
и x
2
)()(
,1
1
1
1
1
)(cos)(cos)()(cos)(
21
22
2211
xTxT
utg
xxxTxxT
x
=
≅
+
=
+
==
α
ααα
Для вывода уравнения колебаний струны воспользуемся принципом
Даламбера, который гласит: сумма проекций всех сил, действующих в
системе на ось ординат, равна нулю.
На струну действуют три силы: сила натяжения , внешняя сила
, сила инерции . Рассмотрим отрезок струны [x
Tx()
Pxt(,)
Fxt(,)
1
x
2
]
.
Проекция
71
                            3.3 Модель осциллятора [25]

         Рассмотрим струну - тонкую натянутую нить, которая может

свободно изгибаться. Считаем, что сила натяжения струны Т достаточно

велика, чтобы пренебречь силой тяжести струны. Пусть в положении

равновесия струна направлена по оси абсцисс и закреплена в точках 0 и l .

u ( x, t )− смещение струны в точке х в момент времени t.

         Будем        рассматривать       малые         смещения            струны,         когда   можно

                                     2       2
пренебречь выражениями u ,(u x ) и uu x , как величинами второго порядка

малости.

         В данном приближении удлинения струны при ее натяжении не
                                                                   x2

происходит. Действительно, длина дуги: M 1 M 2 = ∫ 1+u x2 dx≅ x2 − x1 , u x2 << 1.
                                                                   x1



Также легко показать, что сила натяжения не зависит от координаты х.

Действительно, проекции сил натяжения на ось абсцисс в точках x1 и x2

                                                           1                 1
T ( x1 )cos α ( x1 )=T ( x2 )cos α ( x2 ) cos α ( x)=                   =            ≅ 1,
                                                         1+tg 2α            1+u x2
T ( x1 ) = T ( x2 )

         Для вывода уравнения колебаний струны воспользуемся принципом

Даламбера, который гласит: сумма проекций всех сил, действующих в

системе на ось ординат, равна нулю.

         На струну действуют три силы: сила натяжения T ( x ) , внешняя сила

P( x, t ) , сила инерции      F ( x , t ) . Рассмотрим отрезок струны [x1x2]. Проекция


                                                                                                       71

Страницы