Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

с соответствующими начальными и граничными условиями.
Решение уравнения колебаний струны (3.20) с начальными условиями
(3.21) и граничными условиями (3.22) будем искать методом разделения
переменных (метод Фурье):
)()(),(
t
T
u
X
t
x
u
⋅
=
(3.23)
Подставим (5.2.4) в (5.2.1) и убедимся, что переменные разделяются:
TXXTa
′
′
⋅
=
2
или
λ
−=
=
T
T
a
X
X
2
1
Мы смогли приравнять данное равенство постоянной , т.к. левая
часть зависит только от , а правая
− только от . В итоге получаем два
обыкновенных дифференциальных уравнения:
λ
x
t
0
=
+
′
′
X
X
λ
(3.24)
(3.25)
0
2
=+
′′
TaT
λ
Теперь возникает задача на собственные значения и собственные
функции обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка (это
так называемая задача Штурма - Лиувилля).
Уравнение (3.24) является моделью гармонического осциллятора (см.
раздел 3.2), имеющего множество приложений: колебание маятника,
колебательный электрический контур, движение электрона вокруг ядра атома
и др.
74
с соответствующими начальными и граничными условиями.

        Решение уравнения колебаний струны (3.20) с начальными условиями

(3.21) и граничными условиями (3.22) будем искать методом разделения

переменных (метод Фурье):

                              u ( x, t )= X (u )⋅T (t )               (3.23)

Подставим (5.2.4) в (5.2.1) и убедимся, что переменные разделяются:

                               a 2 XT = X ⋅T ′′

или

                               X ′′ 1 T ′′
                                   =       =− λ
                               X a2 T

        Мы смогли приравнять данное равенство постоянной λ , т.к. левая

часть зависит только от x , а правая − только от t . В итоге получаем два

обыкновенных дифференциальных уравнения:

                               X ′′+λX =0                             (3.24)

                             T ′′+a 2λT =0                            (3.25)

        Теперь возникает задача на собственные значения     и собственные

функции обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка (это

так называемая задача Штурма - Лиувилля).

        Уравнение (3.24) является моделью гармонического осциллятора (см.

раздел 3.2), имеющего множество приложений: колебание маятника,

колебательный электрический контур, движение электрона вокруг ядра атома

и др.


                                                                               74

Страницы