Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 76 стр.

                 ∞              ∞ ⎡
                                         ⎛ πn ⎞         ⎛ πn ⎞⎤ ⎛ πn ⎞
     u ( x, t )=∑ u n ( x, t )=∑ ⎢ An cos⎜ at ⎟+ Bn sin ⎜ at ⎟⎥ sin ⎜ x ⎟ (3.26)
                n =1           n =1 ⎣    ⎝ l  ⎠         ⎝ l  ⎠⎦ ⎝ l ⎠

Коэффициенты An и Bn находим из начальных условий:

                                          ∞
                                                   ⎛ πn ⎞    ⎫
                       u ( x,0)=ϕ ( x)=∑ An sin ⎜ ⎟ x        ⎪⎪
                                         n =1      ⎝ l ⎠
                                                              ⎬
                                            ∞
                                                ⎛ πn ⎞ πn ⎪
                       ut ( x& ,0)=ψ ( x)=∑ Bn ⎜ a ⎟ sin x
                                           n =1 ⎝ l ⎠     l ⎪⎭

Сравнивая полученные формулы с разложением функций                    ϕ (x) и ψ (x) в ряд

Фурье:

                          ∞           πn 2l           πn   ⎫
                 ϕ ( x)=∑ ϕ n sin x;ϕ n = ∫ ϕ (ζ ) sin ζdζ ⎪
                        n =1     l       l0            l   ⎪
                                                           ⎬
                          ∞      πn       2l           πn
                 ψ ( x)=∑ψ n sin x;ψ n = ∫ψ (ζ ) sin ζdζ ⎪
                        n =1      l       l0             l ⎪⎭

находим коэффициенты A n и B n :

                                                     l
                                   An =ϕ n ; Bn =      ψ
                                                    πna n
Решение (3.26) можно представить в виде:

           ⎡       ⎛ πn ⎞         ⎛ πn ⎞⎤ ⎛ πn ⎞
u ( x, t )=⎢ An cos⎜ at ⎟+ Bn sin ⎜ at ⎟⎥ sin ⎜ x ⎟=
           ⎣       ⎝ l    ⎠       ⎝ l  ⎠⎦ ⎝ l ⎠
           ⎛ πn ⎞      ⎡πn        ⎤
=α n sin ⎜ x ⎟⋅cos ⎢ a (t +δ n )⎥
           ⎝ l ⎠       ⎣l         ⎦

                                l       B
где α n = An2 + Bn2 ; δ n =−       arctg n ; An =α n sin δ n ; Bn =α n cos δ n .
                               πan      An

Таким образом, мы пришли к традиционной форме представления колебаний

в виде:

                                                                                       76