Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1. Казанцев Э.Ф. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⋅=
−
x
l
n
eCtTxXtx
ta
nnnn
n
π
ρ
λ
sin)()(),(
22
Упростим задачу и рассмотрим диффузию на неограниченной оси
с
начальным условием
)( ∞<<−∞ x )()0,( xx
ϕ
ρ
=
и без граничных
условий
. Опять ищем решение в виде
)()(),(
t
T
x
X
t
x
⋅
=
ρ
.
Используя полученные выше результаты, запишем частное решение
уравнения (3.29) в виде:
]
xBxAetx
ta
λλρ
λ
sincos),(
22
+=
−
.
Проинтегрируем это выражение по
λ
:
[]
λλλρ
λ
dxBxAext
t
a
sincos),(
22
+=
∫
∞
∞
−
−
(3.35)
Выберем
А и В так, чтобы выполнялось начальное условие (3.30):
()
λλλϕρ
dxBxAxx
∫
∞
∞
−
+== sincos)()0,(
Сравним полученное выражение с интегралом Фурье функции :
ϕ()x
.sin)(sincos)(cos
2
1
)(cos)(
2
1
)(
λζλζζϕλζλζζϕλ
π
ζζλζϕλ
π
ϕ
ddxdx
dxdx
∫∫ ∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
=−=
Нетрудно видеть, что
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
==
ζλζζϕ
π
ζλζζϕ
π
dBdA sin)(
2
1
;cos)(
2
1
.
Подставим
А и В в (3.35), где
ϕ
ζ
()
есть значение в произвольной
ϕ()x
81
                                                                      πn ⎞
                   ρ n ( x, t )= X n ( x)⋅Tn (t )=Cn e −a λ t sin⎛⎜
                                                            2 2
                                                              n
                                                                        x    ⎟
                                                                    ⎝ l      ⎠

Упростим задачу и рассмотрим диффузию на                                  неограниченной оси

(−∞< x<∞) с начальным условием ρ ( x,0)=ϕ ( x) и                                   без граничных

условий.   Опять ищем решение в виде                 ρ ( x, t )= X ( x)⋅T (t ) .

       Используя полученные выше результаты, запишем частное решение

уравнения (3.29) в виде:

                      ρ ( x, t )=e
                                     − a 2λ2t
                                                [A cos λx+B sin λ x].
Проинтегрируем это выражение по λ :

                                  ∞
                      ρ (t , x)= ∫ e −a λ [ A cos λx+ B sin λx]dλ
                                            2 2t
                                                                                        (3.35)
                                  −∞


Выберем А и В так, чтобы выполнялось начальное условие (3.30):

                                            ∞
                    ρ ( x,0)=ϕ ( x)= ∫ ( A cos λx+ B sin λx )dλ
                                           −∞


Сравним полученное выражение с интегралом Фурье функции ϕ( x) :

                 1 ∞       ∞
       ϕ ( x )=     ∫ dλ ∫ ϕ (ζ ) cos λ (ζ − x)dζ =
                2π −∞ −∞
          1 ∞⎡            ∞                             ∞
                                                                            ⎤
       =       ∫⎢ cos λ x  ∫ ϕ (ζ ) cos λζ d ζ +sin λ x  ∫ ϕ (ζ ) sin λζ dζ ⎥dλ.
         2π −∞ ⎣          −∞                            −∞                  ⎦

Нетрудно видеть, что

                  1 ∞                    1 ∞
               A= ∫ ϕ (ζ ) cos λζdζ ;B=     ∫ ϕ (ζ ) sin λζdζ .
                 2π −∞                  2π −∞

       Подставим А и В в (3.35), где ϕ (ζ ) есть значение ϕ( x) в произвольной


                                                                                                 81

Страницы